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평균변화율은 두 점을 잇는 할선의 기울기다. 두 점을 한없이 가깝게 붙이면 할선이 한 점에서의 접선으로 가고, 그 기울기가 미분계수다. 미분의 모든 공식이 이 한 줄에서 나오므로 이것만은 결과가 아니라 출발점이다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 평균변화율과 순간변화율의 차이를 말한다
- 정의에 따라 간단한 함수의 도함수를 직접 구한다
- 미분계수 f′(a) 와 도함수 f′(x) 를 구분한다
한 단계씩 유도해 보기
두 점을 잇는 할선의 기울기가 세로 조각을 가로 조각 h 로 나눈 값이다. h 를 줄이면 할선이 접선으로 간다. hf(x+h)−f(x)
두 점 (x, f(x)) 와 (x+h, f(x+h)) 를 잇는 할선의 기울기다. 세로 차이를 가로 차이 h 로 나눈 값이고, 이것이 평균변화율이다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우는 편이 싸다
정의라 위에서 끌어낼 식이 없다. 대신 할선이 접선으로 가는 그림 한 장이 식을 통째로 되살려 준다.
곡선에 두 점을 찍고 할선을 그린다. 기울기는 세로 차이 f(x+h) − f(x) 를 가로 차이 h 로 나눈 것이고, 뒤 점을 앞 점으로 밀면 할선이 접선이 된다. 그 순간을 lim 기호로 적은 것이 정의다. 분모가 h 라는 것만 붙잡으면 분자는 그림에서 읽힌다.
🧠 공식 전체를 외울 것과 되살릴 것으로 가른 표 →
직접 만져 보기
f(x) = x² f′(x) = 2x
(f(2.50) − f(1.00)) ÷ 1.50 = 3.50
f′(1.00) = 2.00 · 차이 1.50
(6.25 − 1.00) ÷ 1.50 = 3.50
h 1.50 · 차분몫 3.50 · 접선 2.00 · 차이 1.50
f(x) = x² 에서 x = 1.00 와 2.50 를 잇는 할선의 기울기는 3.50 입니다. 미분계수는 2.00 이고 차이는 1.50 입니다. h 를 0 쪽으로 줄이면 할선이 접선으로 가고 차이도 0 으로 갑니다.
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