수2 미적분
미분계수와 도함수의 정의
확대하면 곡선이 곧아진다
확대 × 80 왼쪽 기울기 -1.969 오른쪽 기울기 -1.870 차이 0.099
기울기는 확대 창의 끝과 P 를 이은 선으로 잰다(창의 가로 0.055). 비교: 공식으로 구한 순간 기울기 3x² − 3 = -1.920
곡선의 한 점을 계속 확대하면 곡선이 직선처럼 보인다. P 의 왼쪽과 오른쪽으로 그은 두 선의 기울기가 하나로 모이고, 그 값이 그 점의 순간 기울기(미분계수)다. 꺾인 점에서는 아무리 확대해도 두 기울기가 갈라진 채 남는다. 그래서 그 점에서는 미분할 수 없다고 한다.
평균변화율은 두 점을 잇는 할선의 기울기다. 두 점을 한없이 가깝게 붙이면 할선이 한 점에서의 접선으로 가고, 그 기울기가 미분계수다. 미분의 모든 공식이 이 한 줄에서 나오므로 이것만은 결과가 아니라 출발점이다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 평균변화율과 순간변화율의 차이를 말한다
- 정의에 따라 간단한 함수의 도함수를 직접 구한다
- 미분계수 f′(a) 와 도함수 f′(x) 를 구분한다
한 단계씩 유도해 보기
두 점 (x, f(x)) 와 (x+h, f(x+h)) 를 잇는 할선의 기울기다. 세로 차이를 가로 차이 h 로 나눈 값이고, 이것이 평균변화율이다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우는 편이 싸다
정의라 위에서 끌어낼 식이 없다. 대신 할선이 접선으로 가는 그림 한 장이 식을 통째로 되살려 준다.
곡선에 두 점을 찍고 할선을 그린다. 기울기는 세로 차이 f(x+h) − f(x) 를 가로 차이 h 로 나눈 것이고, 뒤 점을 앞 점으로 밀면 할선이 접선이 된다. 그 순간을 lim 기호로 적은 것이 정의다. 분모가 h 라는 것만 붙잡으면 분자는 그림에서 읽힌다.
오귀스탱루이 코시