미분계수와 도함수

개요

01에서 우리는 극한(어떤 값에 한없이 가까워질 때 무엇에 다가가는지)을 배웠다. 이번엔 그 극한을 이용해 “순간적으로 변하는 정도”를 정의한다. 사실 그 씨앗은 이미 있었다. unit3 의 일차함수에서 기울기 $\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 를 구했던 것을 떠올려 보자. 두 점 사이에서 $y$ 가 얼마나 변했는지를 잰 그 값이 바로 평균변화율의 첫 형태였다.

핵심 사실

• 미분계수: 이 구간의 폭을 한없이 좁혀 ($b \to a$, 곧 $h \to 0$) 얻는 극한이 미분계수다.

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

• 도함수: 모든 $x$ 에 대해 미분계수를 대응시키는 함수 $f'(x)$ 를 도함수라 하고, 이를 구하는 과정을 미분이라 한다.

• 다항함수의 도함수 공식(멱함수의 미분): 지수를 계수로 앞에 내리고, 지수를 하나 줄인다.

$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

• 평균값 정리: 두 끝점을 잇는 할선과 나란한 접선이 그 사이에 반드시 있다. 구간에서 연속이고 안쪽에서 미분가능하기만 하면 된다.

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c) \qquad (a < c < b)$$

• 당연해 보이지만 「도함수가 양수이면 증가한다」의 논리적 근거가 바로 이것이다. 뒤에 나오는 증가·감소 판정은 매번 이 정리를 쓰고 있는 셈이다. 양 끝의 높이가 같은 특수한 경우($f(a)=f(b)$)를 롤의 정리라 하고, 할선을 빼서 그림을 눕히면 일반적인 경우가 그 특수한 경우로 돌아온다. (평균값 정리에 단계별 유도를 적어 두었다.)

• 상수배·합의 미분: $(cf)' = cf'$, $(f+g)' = f' + g'$. 그리고 상수함수의 미분은 $0$ 이다(값이 변하지 않으니까).

• 곱의 미분법: 곱은 합처럼 각각 미분해서 곱하면 되지 않는다. 앞을 미분하고 뒤는 그대로, 앞은 그대로 두고 뒤를 미분한 다음 더한다.

$$(fg)' = f'g + fg'$$

$y = (x^2 + 1)(2x - 3)$ 이라면 $y' = 2x(2x - 3) + (x^2 + 1) \cdot 2 = 6x^2 - 6x + 2$ 다. 먼저 전개해 $2x^3 - 3x^2 + 2x - 3$ 으로 고친 뒤 미분해도 같은 값이 나오니 검산이 된다. 유도는 곱의 미분법 편에서 한 단계씩 볼 수 있다.

아래 스테퍼로 $(x^n)' = nx^{n-1}$ 이 도함수의 정의에서 어떻게 나오는지 한 단계씩 따라가 보자.

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}$$

도함수의 정의에 f(x) = xⁿ 을 대입한다.

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