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위치를 미분하면 속도였으니 거꾸로 속도를 적분하면 위치의 변화가 나온다. 그런데 되돌아온 운동에서는 위치 변화와 실제로 움직인 거리가 다르다. 그 둘을 가르는 것이 절댓값 하나다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 속도의 정적분이 위치의 변화량임을 안다
- 위치 변화와 움직인 거리를 구분한다
- 속도가 0 이 되는 시각에서 구간을 나눈다
한 단계씩 유도해 보기
속도를 적분하면 위치의 변화량이 나오는데, 속도가 음수인 구간에서는 음수가 더해져 앞서 간 만큼을 깎는다. 되돌아온 몫이 상쇄되는 것이다. 실제로 움직인 거리를 구하려면 절댓값을 씌워 방향을 지우고, 속도가 0 이 되는 시각에서 구간을 나눈다. x′(t)=v(t)
위치를 시간으로 미분하면 속도다. 이 관계를 거꾸로 읽는 것이 이 편의 출발점이다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
속도가 위치의 도함수라서 적분하면 위치의 변화가 돌아오고, 음수 구간이 상쇄를 일으키기 때문이다.
속도 그래프를 그리고 x축 위아래의 넓이를 본다. 부호를 그대로 더하면 위치 변화이고 전부 양수로 더하면 움직인 거리다. 문제가 어느 쪽을 묻는지부터 읽는다.
🧠 공식 전체를 외울 것과 되살릴 것으로 가른 표 →
직접 만져 보기
위치의 변화량 ∫ab v(t) dt = −3
움직인 거리 ∫ab |v(t)| dt = 7.667 속도가 음수인 구간이 있다. 그동안은 거꾸로 갔으므로 위치의 변화량에서는 빼지고 움직인 거리에서는 더해진다.
절댓값을 씌우면 그 막대가 접혀 올라간다
n 12 · 위치의 변화 −3 · 움직인 거리 7.667
속도 y = x² − 4 를 시각 0 부터 3 까지 보았습니다. 위치의 변화량은 −3 이고 움직인 거리는 7.667 입니다. 거꾸로 움직인 구간이 있어 둘이 다릅니다.
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