지수함수의 도함수
📖 이 페이지의 개념e (자연상수)지수함수와 로그함수
밑 a = 2.72 높이 = 1.82 기울기 = 1.82 기울기 ÷ 높이 = 1.000 (x 를 옮겨도 그대로)
기울기는 (a^(x+h) − a^(x−h)) / 2h 로 잰다(h = 0.001). 비율이 1 이 되는 밑 = 2.71828. 비교: e = 2.71828, ln a = 1.000
지수함수는 점을 어디로 옮겨도 접선의 기울기가 그 자리 높이의 몇 배인지가 변하지 않는다. 그 배수가 ln a 이고, 배수가 정확히 1 이 되는 밑이 e 다. e 가 특별한 것은 미분이 가장 깔끔해지도록 고른 수이기 때문이다.
미분해도 자기 자신인 함수가 있다. 지수함수는 어떤 밑으로 미분해도 모양이 그대로 남고 앞에 상수 하나가 붙는데, 그 상수가 정확히 1 이 되는 밑이 e 다. e 가 특별한 이유는 신기해서가 아니라 미분이 가장 깔끔해지도록 고른 수이기 때문이다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 도함수의 정의에서 지수함수의 미분이 상수 하나로 결정됨을 확인한다
- 그 상수가 1 이 되도록 고른 밑이 e 임을 설명한다
- 밑이 e 가 아닌 지수함수에는 ln a 가 붙는다는 것을 구분해 쓴다
한 단계씩 유도해 보기
도함수의 정의에 지수함수를 그대로 넣는다. 밑은 아직 아무 양수 a 다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우는 편이 싸다
식이 한 줄이고, 애초에 이 식이 성립하도록 고른 밑이 e 다. 되살릴 것이 남아 있지 않다.
e 는 미분해도 변하지 않게 만들려고 고른 수라고 붙잡는다. 그러면 (e^x)′ = e^x 는 그 약속을 다시 읽는 것과 같다. 밑이 e 가 아니면 앞에 ln a 가 붙는데, 검산은 a = e 로 한다. ln e 가 1 이라 원래 식으로 돌아오면 제대로 쓴 것이다. 거듭제곱 x^n 의 미분과 섞이기 쉬운데, 지수함수는 x 가 지수 자리에 있으므로 지수를 앞으로 내리는 규칙이 통하지 않는다.