지수함수와 로그함수의 미분

개요

미적분Ⅰ에서는 다항함수만 미분했다. 미적분Ⅱ는 미분할 수 있는 함수의 목록을 넓히는 단원이고, 그 첫 상대가 지수함수와 로그함수다.

여기서 새로운 수 하나가 등장한다. 밑을 어떤 수로 잡느냐에 따라 지수함수의 도함수에 지저분한 상수가 붙는데, 딱 한 밑에서만 그 상수가 $1$ 이 되어 미분해도 자기 자신이 나온다. 그 밑이 무리수 $e = 2.718\dots$ 다. $e$ 는 편의를 위해 고른 수가 아니라 미분이 가장 단순해지는 자리로서 자연스럽게 정해진 수이며, 그래서 밑이 $e$ 인 로그를 자연로그라 부른다.

핵심 사실

• 자연로그 $\ln x = \log_e x$ 로 쓴다. $\ln e = 1$, $\ln 1 = 0$ 이다.
• 기본 극한 두 개다. 도함수를 유도할 때 그대로 쓰인다.

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1,\qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$

• 지수함수의 도함수: 밑이 $e$ 이면 미분해도 그대로다.

$$(e^x)' = e^x,\qquad (a^x)' = a^x \ln a$$

• 로그함수의 도함수: 밑이 $e$ 이면 분모가 $x$ 뿐이다.

$$(\ln x)' = \frac{1}{x},\qquad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$$

• $e^x$ 는 미분해도 변하지 않는 유일한 꼴이다. 그래서 성장·감쇠·복리처럼 “변화율이 현재 크기에 비례하는” 현상은 전부 $e$ 로 기술된다.
• $a^x$ 와 $\log_a x$ 에 붙는 $\ln a$ 는 밑을 $e$ 로 바꾸는 대가다. $a^x = e^{x \ln a}$ 로 고쳐 보면 어디서 나왔는지 보인다.
• 정의역 조건을 잊지 않는다. $\ln x$ 는 $x > 0$ 에서만 정의되므로, 도함수 $\dfrac{1}{x}$ 도 그 범위에서만 뜻을 가진다.

밑 $a$ 를 슬라이더로 밀면서 $a^x$ 곡선과 그 도함수 $a^x \ln a$ 곡선이 따로 움직이는 걸 직접 봐 보자. 두 곡선 사이가 벌어진 만큼이 $\ln a$ 이고, $a$ 를 $e$ 쪽으로 가져가면 그 간격이 줄어들다가 $a = e$ 에서 정확히 겹쳐진다. $\ln e = 1$ 이라서 도함수가 원래 함수와 같아지는 순간이다.

밑 a = 2, ln 2 ≈ 0.69 만큼 벌어짐밑 a = e, 정확히 포개짐밑 a = 4, 더 크게 벌어짐밑 a = 0.5, 도함수가 아래로 뒤집힘

지수의 확장역함수 (y = x 대칭)대소 비교 · 부등호도함수 · ln a기본 극한 · e 에서만 1

밑 a = 2 지수 x = 1

(2^x)′ = 2^x · ln 2 = 2^x · 0.693

x = 1 에서 2ˣ = 2, 도함수 값은 2 × 0.693 = 1.386 이다.

ln 2 = 0.693 만큼 도함수 곡선이 원래 곡선보다 위로 벌어져 있다. a 를 늘려 e = 2.718… 쪽으로 가져가 보라.

밑 2 · 값 2 · 도함수 1.386

밑은 2 이고 증가함수입니다. x = 1 일 때 2ˣ = 2 이고 도함수는 2ˣ·ln2 = 1.386 입니다. ln 2 = 0.693 만큼 두 곡선이 벌어져 있습니다.