미적분
등비급수의 합
항이 무한히 많은데 합이 유한한 값에 멈추는 일이 있다. 공비의 절댓값이 1 보다 작을 때가 그렇다. 등비수열의 합에서 공비의 거듭제곱이 붙은 항이 0 으로 눌리면서 상수 부분만 남기 때문이다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 등비수열의 합에서 극한을 취해 등비급수의 합을 얻는다
- |r| < 1 이라는 조건이 어디서 필요한지 설명한다
- 수렴과 발산을 공비의 절댓값으로 판정한다
한 단계씩 유도해 보기
첫째항 a, 공비 r 인 등비수열의 첫 n 항의 합에서 출발한다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
등비수열의 합에서 rⁿ 이 붙은 항을 지우는 한 걸음이다. 조건도 그 자리에서 함께 나온다.
등비수열의 합 a(1 − rⁿ)/(1 − r) 을 적고 n 을 무한으로 보낸다. |r| < 1 이면 rⁿ 이 0 이 되어 a/(1 − r) 만 남는다. 분모를 1 − r 로 쓸지 r − 1 로 쓸지 헷갈리면 a = 1, r = 1/2 로 확인한다. 1 + 1/2 + 1/4 + … 는 2 인데 1/(1 − 1/2) = 2 로 맞는다. 조건을 빠뜨리면 발산하는 급수에 값을 매기게 된다.