급수

개요

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ 을 끝없이 더하면 얼마가 될까? 무한히 더하니 무한대가 될 것 같지만, 실제로는 $1$ 에 한없이 가까워진다. 한 걸음마다 남은 거리의 절반씩 가는 셈이라 결코 $1$ 을 넘지 못하기 때문이다.

이렇게 수열의 항을 무한히 더한 것이 급수다. 무한히 더한다는 말 자체는 뜻이 분명하지 않으므로, 수학은 이것을 앞에서부터 $n$ 개까지 더한 값(부분합)의 극한으로 정의한다. 무한의 문제를 앞 소단원의 수열의 극한 문제로 바꿔 놓는 것이다.

핵심 사실

• 이 극한이 존재하면 급수가 수렴하고 그 값을 급수의 합이라 한다. 존재하지 않으면 발산이다.
• 등비급수: 첫항 $a$, 공비 $r$ 인 등비수열의 급수는 $|r| < 1$ 일 때만 수렴하며 그 합은

$$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r} \qquad (|r| < 1)$$

• 등비수열의 합 $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ 에서 $|r| < 1$ 이면 $r^n \to 0$ 이므로 이 값이 남는다. $|r| \ge 1$ 이면 발산한다.
• 위 예는 $a = \dfrac{1}{2}$, $r = \dfrac{1}{2}$ 이므로 합이 $\dfrac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ 이다.
• 수렴의 필요조건: 급수 $\sum a_n$ 이 수렴하면 반드시 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$ 이다. 역은 성립하지 않는다. 항이 $0$ 으로 가도 급수는 발산할 수 있다.
• 대우로 쓰면 강력한 판정법이 된다. 일반항이 $0$ 으로 가지 않으면 그 급수는 반드시 발산한다.
• 순환소수는 등비급수다. $0.\dot{3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + \cdots$ 은 $a = 0.3$, $r = 0.1$ 인 등비급수이므로 합이 $\dfrac{0.3}{0.9} = \dfrac{1}{3}$ 이다. 중2에서 분수로 고치던 방법의 정체가 이것이다.
• 급수의 성질: 두 급수가 모두 수렴할 때 항끼리 더하거나 상수배한 급수도 수렴하고, 그 합은 각각의 합을 더하거나 상수배한 것과 같다.

아래에서 「부분합 Sₙ」으로 전환하고 항의 개수를 늘려 보자. 점선이 $\dfrac{a}{1-r}$ 이고, 부분합은 항을 아무리 더해도 그 선을 넘지 못한 채 다가가기만 한다. 공비를 $1$ 보다 크게 밀면 그 선이 사라지고 부분합이 걷잡을 수 없이 커지는 것도 같은 화면에서 확인할 수 있다.

수렴하는 등비급수발산하는 등비급수

등차수열 등비수열

항 aₙ 부분합 Sₙ

첫째항 a = 4 공비 r = 0.500 항의 개수 n = 14

4,6,7,7.50,7.75,7.88,7.94,7.97, …

공비의 절댓값이 1보다 작아 부분합이 8 에 멈춰 선다. 항을 무한히 더해도 이 선을 넘지 않는다.