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기하

쌍곡선의 방정식과 점근선

두 초점까지의 거리의 차가 일정한 점의 모임이 쌍곡선이다. 타원이 합을 고정한 것과 부호 하나만 다른데, 그 하나가 곡선을 끊어 두 가지로 만들고 멀리서 직선에 가까워지게 만든다. 그 직선이 점근선이다.

이 공식, 이렇게 학습하세요

  • 거리의 차가 일정하다는 정의에서 표준형을 얻는다
  • 점근선이 표준형에서 어떻게 나오는지 안다
  • 타원의 관계식과 부호가 어디서 갈리는지 구별한다

한 단계씩 유도해 보기

y = ±(b/a)x
두 초점까지의 거리의 차가 일정한 점의 모임이다. 표준형에서 오른쪽의 1 을 무시할 만큼 x 가 커지면 곡선이 두 직선에 한없이 가까워지는데, 그 직선이 점근선이고 기울기는 b 를 a 로 나눈 값이다.

초점을 F(c, 0) 과 F′(마이너스 c, 0) 으로 두고 정의를 적는다. 거리의 차가 일정하다는 것이 전부이고, 그 일정한 값을 2a 라 부른다.

1 / 4 단계

외울까, 되살릴까

외우지 않아도 된다

거리의 차를 좌표로 적고 근호를 두 번 없앤 결과이고, 점근선은 그 식에서 1 을 무시한 꼴이기 때문이다.

타원과 같은 길을 걷되 합이 아니라 차로 시작한다. 그래서 부호 하나만 바뀐다. 관계식은 타원이 a 제곱 = b 제곱 + c 제곱, 쌍곡선이 c 제곱 = a 제곱 + b 제곱이다. 늘 가장 큰 것이 혼자 왼쪽에 선다고 기억하면 헷갈리지 않는다. 점근선은 표준형에서 1 을 0 으로 바꿔 인수분해하면 바로 나온다.

🧠 공식 전체를 외울 것과 되살릴 것으로 가른 표 →

이런 실수를 조심하세요

예제

문제. x 제곱 나누기 9 빼기 y 제곱 나누기 16 이 1 인 쌍곡선의 초점과 점근선을 구하시오.

답. 초점 (플러스마이너스 5, 0), 점근선 y = 플러스마이너스 4/3 곱하기 x

a 가 3, b 가 4 이므로 c 의 제곱은 9 더하기 16 으로 25 이고 c 는 5 다. 점근선은 b 나누기 a 이므로 기울기가 3 분의 4 다.

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