이차곡선: 거리로 그리는 곡선
P 를 옮겨도 합은 변하지 않는다
포물선·타원·쌍곡선을 표준형이 아니라 정의로 만난다. 곡선 위의 점 P 를 밀면 초점까지의 거리가 숫자로 바뀌지만, 포물선은 준선까지의 거리와 늘 같고 타원은 두 거리의 합이, 쌍곡선은 차가 끝까지 변하지 않는다.
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a 와 b 를 밀면 초점이 따라 움직이며 a² = b² + c² 와 c² = a² + b² 가 어느 쪽 이야기인지도 갈린다. 보기를 「접선」으로 바꾸면 초점까지의 선분 대신 P 에서의 접선 하나를 긋는다. 값 줄은 곡선의 식에서 x² 를 x₁x 로, y² 를 y₁y 로 한 짝씩만 바꿔 쓴 식에 접점 좌표를 넣어 보여 주고, 그것을 y = mx + k 나 x = k 꼴로 풀어 적는다.
타원과 쌍곡선은 가운데 부호만 다르고, 포물선은 일차항 x 가 x 와 x₁ 의 평균으로 바뀌는 것 하나가 더 붙는다. 곡선 종류를 바꿔도 보기는 그대로라 세 식을 차례로 나란히 볼 수 있다.
타원입니다. 두 초점까지의 거리가 1.99 과 6.01 이고 합은 8 로, 긴 지름 8 와 같습니다. 점 P 는 2.57, 1.92 입니다. P 를 어디로 옮겨도 이 합은 변하지 않습니다.
💡 세 곡선은 따로 외울 셋이 아니라 같은 말을 조금씩 바꾼 셋이다. 정의에서는 거리가 같음 · 합 · 차로만 갈리고, 접선에서는 같은 바꿔 쓰기가 가운데 부호와 평균 하나만 달리해 되풀이된다. 곡선을 오가며 무엇이 그대로이고 무엇이 바뀌는지를 보는 판이다.
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