중2 기하
내접원의 반지름과 삼각형의 넓이
📖 이 페이지의 개념외심과 내심
삼각형을 펼치면 높이가 모두 r
a + b + c = 18.65 세 조각의 높이 1.69 · 1.69 · 1.69 펼친 넓이 15.75 삼각형 넓이 15.75
r 은 두 각의 이등분선이 만나는 점(내심)에서 세 변까지 잰 거리이고, 넓이는 꼭짓점 좌표로 잰다. 비교: r(a + b + c) ÷ 2 = 15.75
내심에서 세 꼭짓점으로 자르면 세 조각의 높이가 전부 내접원의 반지름 r 이다. 밑변 a, b, c 를 한 줄로 펼치면 꼭짓점이 모두 높이 r 에 닿고, 한 점으로 모으면 밑변이 둘레, 높이가 r 인 삼각형 하나가 된다. 그래서 넓이는 r(a + b + c) ÷ 2 다.
내심은 세 변에서 같은 거리에 있는 점이고, 그 거리가 내접원의 반지름 r 이다. 이 사실 하나로 삼각형을 세 조각으로 가르면 세 조각의 높이가 전부 r 이 되어 넓이가 한 줄로 묶인다. 넓이와 둘레를 알면 반지름이, 반지름과 둘레를 알면 넓이가 바로 나온다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 내접원의 반지름으로 삼각형의 넓이를 구한다
- 넓이와 둘레를 알 때 내접원의 반지름을 구한다
- 세 조각으로 나누는 근거가 「내심에서 세 변까지가 같다」임을 설명한다
한 단계씩 유도해 보기
내심 I 와 세 꼭짓점을 이으면 삼각형이 셋으로 갈린다. 겹치는 곳도 빈 곳도 없다.
1 / 2 단계· 💎 3단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
내심에서 세 꼭짓점을 잇는 그림 하나만 떠올리면 30초 안에 다시 나온다.
세 조각의 높이가 전부 r 이라는 것만 붙잡는다. 검산은 세 변이 3, 4, 5 인 직각삼각형이다. 넓이 6, 둘레 12 이므로 r 이 1 로 나와야 한다.