삼각형의 성질

개요

중2 도형은 삼각형을 깊이 들여다본다. 특히 두 변이 같은 이등변삼각형은 밑각이 같다는 아름다운 대칭을 가지고, 직각삼각형에는 전용 합동조건이 있다. 나아가 삼각형에 딱 맞는 두 개의 특별한 점, 외심과 내심을 만난다. 이 성질들은 모두 앞 단원의 합동을 근거로 증명된다.

핵심 사실

• 세 성질이 합동 하나에서 나온다: 꼭지각 $\mathrm{A}$ 의 이등분선이 밑변 $\mathrm{BC}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{D}$ 라 하자. $\mathrm{AB} = \mathrm{AC}$, $\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{CAD}$, 공통변 $\mathrm{AD}$ 로 $\triangle \mathrm{ABD} \equiv \triangle \mathrm{ACD}$ (SAS)이고, 이 합동 한 번에서 $\angle \mathrm{B} = \angle \mathrm{C}$, $\mathrm{BD} = \mathrm{DC}$, $\angle \mathrm{ADB} = \angle \mathrm{ADC}$ 가 한꺼번에 나온다. 마지막 두 각은 더하면 $180^\circ$ 이므로 각각 $90^\circ$ 다. 그래서 밑각이 같다는 것과 밑변이 수직으로 이등분된다는 것이 따로 증명되는 사실이 아니다. (이등변삼각형의 성질에 단계별 유도를 적어 두었다.)
• 수직이등분하는 것은 선이지 삼각형이 아니다: “이등변삼각형이 밑변을 수직이등분한다”는 말은 성립하지 않는다. 밑변을 수직이등분하는 것은 꼭지각의 이등분선이다. 한 밑각의 이등분선을 그으면 위의 합동이 서지 않는다.
• 이등변삼각형이 되는 조건: 거꾸로 두 밑각이 같으면 그 삼각형은 이등변삼각형이다.
• 직각삼각형의 합동조건: 일반 합동조건 외에 두 가지가 더 있다.
  • 빗변과 한 예각이 같다 (RHA)
  • 빗변과 다른 한 변이 같다 (RHS)
• 외심: 세 변의 수직이등분선이 만나는 점. 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있어, 이 점을 중심으로 외접원을 그릴 수 있다.
• 내심: 세 내각의 이등분선이 만나는 점. 세 변에서 같은 거리에 있어, 이 점을 중심으로 내접원을 그릴 수 있다.
• 내접원의 반지름과 넓이: 내심에서 세 변까지의 거리가 모두 내접원의 반지름 $r$ 이다. 내심과 세 꼭짓점을 이어 삼각형을 세 조각으로 가르면 세 조각의 높이가 전부 $r$ 이므로 넓이가 한 줄로 묶인다. $S = \tfrac{1}{2}ar + \tfrac{1}{2}br + \tfrac{1}{2}cr = \tfrac{1}{2}r(a+b+c)$ 괄호 안이 둘레이므로 「넓이 = 반지름 × 둘레 ÷ 2」로 읽으면 외울 것이 없다. $r$ 에 대해 풀면 $r = \dfrac{2S}{a+b+c}$ 다.