미분의 거울이다. 미분이 지수를 하나 내리고 앞에 곱했으니, 적분은 지수를 하나 올리고 그 수로 나눈다. 새로 외울 공식이 아니라 이미 아는 미분 공식을 거꾸로 읽은 것이다. 뒤에 붙는 +C 는 장식이 아니라 되돌릴 때 잃어버린 정보를 적어 두는 자리다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
거듭제곱의 미분 공식을 거꾸로 읽어 부정적분을 끌어낸다
적분상수 C 가 왜 필요한지 설명한다
n = −1 에서 이 공식을 쓸 수 없는 이유를 안다
한 단계씩 유도해 보기
위아래로 나란한 곡선들은 어디서나 기울기가 같다. 미분하면 전부 같은 함수가 되므로 되돌릴 때 +C 가 붙는다.
(xn+1)′=(n+1)xn
이미 아는 미분 공식에서 출발한다. 우변에 x 의 n 제곱이 보이므로 이 줄을 적당히 손보면 우리가 찾는 함수가 나온다.
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외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
거듭제곱의 미분을 거꾸로 읽으면 나온다. 외울 것은 +C 를 빠뜨리지 않는 습관뿐이다.
미분은 지수를 내려 앞에 곱하고 지수를 하나 줄인다. 적분은 그 반대로 지수를 하나 올리고 그 수로 나눈다. 검산은 미분으로 한다. 구한 답을 미분해서 처음 식이 나오면 맞다. 이 검산이 되므로 적분은 틀려도 스스로 잡을 수 있다. n = −1 이면 지수를 올렸을 때 0 이 되어 0 으로 나누게 되므로 이 공식이 무너진다. 그 자리는 로그가 맡는다.