부정적분

개요

미분이 “함수에서 변화율을 뽑아내는” 과정이라면, 적분은 그 반대다. 변화율로부터 원래 함수를 되찾는 과정이다. 미분해서 $f(x)$ 가 되는 함수를 찾는 것이 부정적분이다. 미분을 배웠으니 이제 그 길을 거꾸로 걸으면 된다.

핵심 사실

• 적분상수 $C$: 상수를 미분하면 $0$ 이므로, 미분해서 $f(x)$ 가 되는 함수는 무수히 많다. 그 차이를 담는 것이 적분상수 $C$ 다.
• 다항함수의 부정적분 (단, $n\neq -1$):

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

• 성질: 상수배는 밖으로 빼고, 합·차는 각각 적분한다.

$$\int \{f(x)\pm g(x)\}\,dx=\int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$$

“미분해서 $f(x)$ 가 되는 함수는 무수히 많다”는 말이 그림으로는 이렇습니다. 아래에서 부정적분: 원시함수의 무리 를 보면 곡선 다섯 개가 위아래로 나란히 놓여 있는데, 서로 상수만큼만 어긋나 있습니다. $x$ 를 밀어 보면 다섯 곡선의 접선 기울기가 모두 같습니다. 상수를 미분하면 $0$ 이라 위아래로 몇 칸을 옮겨도 기울기가 변하지 않기 때문입니다. 그 차이를 담는 것이 적분상수 $C$ 입니다.

원시함수의 무리 (y = x²)삼차함수로 바꿔 보기정적분으로 넘어가면

정적분 · 쪼개서 더하기부정적분 · 원시함수의 무리두 곡선 사이 · 위 빼기 아래곡선의 길이 · 꺾어서 재기쌓인 넓이 · 미분하면 높이대칭 구간 · 짝지어 세기속도 · 변화량과 거리

y = x²y = 4 − x²y = x² − 4y = x³ − 3xy = eˣy = 1/xy = sin xy = cos x

고른 C = 0 x = 1

∫ (x²) dx = x³/3 + C

x = 1 에서 다섯 곡선의 기울기 = 1 (모두 같다) 상수를 미분하면 0 이므로 위아래로 몇 칸을 옮겨도 기울기는 그대로다. 그래서 미분해서 x² 가 되는 함수는 무수히 많고, 그 차이를 담는 것이 적분상수 C 다.

x 1 · 기울기 1

미분해서 x² 가 되는 함수를 다섯 개 겹쳐 그렸습니다. 서로 상수만큼만 어긋나 있고, x 가 1 인 자리에서 기울기가 모두 1 로 같습니다.