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역함수의 그래프는 원래 그래프를 직선 y = x 에 대해 접은 것이다. 접으면 가로와 세로가 맞바뀌므로 기울기가 뒤집힌다. 로그함수의 도함수도 지수함수에 이 규칙을 쓴 결과다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 역함수의 도함수가 원래 도함수의 역수임을 안다
- 어느 점에서의 값인지를 짝지어 읽는다
- 로그함수의 도함수가 이 규칙에서 나오는 것을 안다
한 단계씩 유도해 보기
역함수의 그래프는 원래 그래프를 직선 y = x 에 접은 것이다. 접으면 가로와 세로가 맞바뀌므로 대응하는 두 점에서 접선의 기울기가 서로 역수가 된다. 어느 점에서 재는지를 짝지어 읽는 것이 요점이다. f−1(f(x))=x
역함수의 뜻을 식 하나로 적는다. 넣었다가 되돌리면 제자리로 온다는 말이고, 여기서 모든 것이 나온다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
역함수와 원함수를 합성하면 항등함수가 되고, 그것을 미분하면 두 도함수의 곱이 1 이기 때문이다.
역함수에 넣었다 되돌리면 제자리라는 식을 적고 미분한다. 연쇄법칙이 두 도함수의 곱을 만들고 오른쪽이 1 이니 서로 역수다. 점을 짝지어 읽는 것만 조심한다. 역함수 쪽은 b 에서, 원함수 쪽은 a 에서다.
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f(x) = x² f′(x) = 2x
f′(1.60) = 3.20 · (f⁻¹)′(2.56) = 0.31
두 기울기의 곱 = 1.00
f 위의 (1.60, 2.56) · f⁻¹ 위의 (2.56, 1.60)
접선 3.20 · 역함수 쪽 0.31 · 곱 1.00
f(x) = x² 위의 점 (1.60, 2.56) 에서 접선의 기울기는 3.20 입니다. 역함수 위의 대응점은 (2.56, 1.60) 이고 그 접선의 기울기는 0.31 입니다. 두 기울기의 곱은 1.00 입니다.
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