로그함수는 지수함수를 거울에 비춘 함수다. 그래서 도함수도 처음부터 다시 구할 필요가 없다. x = e^y 로 고쳐 쓰고 역함수의 미분을 쓰면 1/x 이 나온다. 다항함수를 적분할 때 지수가 −1 인 자리만 비어 있었는데, 그 구멍을 이 공식이 메운다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
로그함수의 도함수를 지수함수의 도함수에서 이끌어 낸다
밑이 e 가 아닌 로그에는 ln a 가 분모에 붙는다는 것을 구분해 쓴다
1/x 의 부정적분이 ln|x| 인 이유를 이 공식과 짝지어 설명한다
한 단계씩 유도해 보기
y = ln x 는 y = e^x 를 y = x 에 비춘 곡선이다. 거울에 비추면 기울기가 뒤집혀 e^y 자리의 기울기가 1/x 이 된다.
y=lnx⟺x=ey
로그를 지수 꼴로 고쳐 쓴다. 둘은 같은 관계를 방향만 바꿔 적은 것이다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
x = e^y 로 고쳐 쓰고 기울기를 뒤집으면 끝난다. 두 걸음이다.
y = ln x 를 x = e^y 로 옮겨 적는다. 지수함수는 미분해도 그대로라 dx/dy = e^y 이고, 이것을 뒤집으면 dy/dx = 1/e^y 다. e^y 자리에 x 를 되돌려 넣으면 1/x 이다. 검산은 그래프로 한다. x 가 커질수록 ln x 는 점점 느리게 오르므로 기울기가 0 으로 줄어야 하는데 1/x 이 정확히 그렇다. 밑이 10 이면 분모에 ln 10 이 더 붙는다.