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수1 수와연산
로그의 성질 log a x y = log a x + log a y , log a y x = log a x − log a y ( a > 0 , a = 1 , x > 0 , y > 0 )
로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 장치다. 계산기가 없던 시절 천문학자들의 계산 시간을 몇 분의 일로 줄여 준 도구이며, 지금도 지진 규모나 소리 크기처럼 아주 넓은 범위의 수를 다룰 때 쓰인다.
이 공식, 이렇게 학습하세요 곱은 합으로, 나눗셈은 차로, 거듭제곱은 곱으로 바뀌는 세 성질을 구분해 쓴다 밑변환 공식으로 밑이 다른 로그를 한 밑으로 모은다 밑과 진수를 맞바꾸면 역수가 된다는 것을 밑변환에서 끌어낸다 진수 조건(양수)과 밑 조건을 확인하는 습관을 들인다 한 단계씩 유도해 보기
log 4 + log 2 = log 8
log 4
log 2
1 2 4 8 16
한 칸이 ×2
log 8 로그 눈금에서는 한 칸이 곱하기 2 다. 그래서 곱셈이 길이의 덧셈으로 바뀐다. x = a m , y = a n
m = logₐx, n = logₐy 라 두면 로그의 정의로 x, y 를 이렇게 쓸 수 있다. 아래가 전부 이 한 줄에서 나온다.
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👤 이 공식을 만든 사람, 존 네이피어 이야기 →
외울까, 되살릴까 외우지 않아도 된다
지수법칙을 로그로 옮겨 적은 것뿐이다. 밑변환 한 줄에서 밑과 진수를 바꾸는 식까지 따라 나온다.
x = aᵐ, y = aⁿ 으로 적고 곱하거나 나눠 보면 된다. 밑이 같으니 지수가 더해지거나 빠지고, 그것을 다시 로그로 읽으면 곱은 합, 나눗셈은 차가 된다. 로그 성질 세 줄은 지수법칙 세 줄의 다른 얼굴이다. 밑이 다른 로그가 섞여 있으면 밑변환으로 한 밑에 모은다. 밑변환에서 새 밑을 진수로 잡으면 분자가 1 이 되어 logₐb = 1 / log_b a 가 나온다. 밑과 진수가 뒤집히면 값도 뒤집힌다고 기억하면 된다.
🧠 공식 전체를 외울 것과 되살릴 것으로 가른 표 →
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유도 4단계 · 흔한 실수 5개 · 예제 1개
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직접 만져 보기 지수의 확장 역함수 (y = x 대칭) 대소 비교 · 부등호 도함수 · ln a 기본 극한 · e 에서만 1
(1, 2) (2, 1) 밑 a = 2 지수 x = 1
y = 2x ↔ y = log2 x
(1, 2) ↔ (2, 1) 좌표를 맞바꾼 점 이다. 그래서 두 그래프가 직선 y = x 에 대해 대칭이고, 정의역과 치역도 서로 뒤바뀐다.
지수함수는 (0, 1) 을, 로그함수는 (1, 0) 을 지난다.
밑 2 · 지수 쪽 1 2 · 로그 쪽 2 1
밑은 2 이고 증가함수입니다. 지수함수 위의 점 1, 2 와 로그함수 위의 점 2, 1 는 직선 y = x 에 대해 서로 대칭입니다.
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존 네이피어