로그의 정의와 성질

개요

01에서 우리는 $2^x$ 같은 거듭제곱을 지수가 유리수여도 자유롭게 계산할 수 있게 됐다. 이제 질문을 거꾸로 뒤집어 보자. ”$2$ 를 몇 제곱해야 $8$ 이 되는가?” 답은 $3$ 이다. 이렇게 “밑을 몇 제곱해야 그 수가 되는가”의 답을 하나의 기호로 적은 것이 바로 로그다. 지수를 알던 우리가 이제 지수를 거꾸로 묻는 셈이다.

핵심 사실

즉 $2^3 = 8$ 과 $\log_2 8 = 3$ 은 같은 사실의 두 표기다. 지수와 로그는 한 사실을 앞에서 보느냐 뒤에서 보느냐의 차이일 뿐이다.

• 성질 3형제: 곱은 합으로, 몫은 차로, 거듭제곱은 배수로 내려온다.

$$\log_a xy = \log_a x + \log_a y, \quad \log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \quad \log_a x^k = k \log_a x$$

• 특수값: $\log_a 1 = 0$ ($a^0 = 1$ 이므로), $\log_a a = 1$ ($a^1 = a$ 이므로).
• 밑변환 공식: 밑이 서로 다른 로그는 그대로 더하거나 비교할 수 없다. 원하는 밑 $c$ 로 통일해 준다.

$$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} \qquad (a, b, c > 0,\ a \neq 1,\ c \neq 1)$$

분자에 진수, 분모에 밑이 온다. 여기서 $b = c$ 로 두면 $\log_a c = \dfrac{1}{\log_c a}$ 라는 뒤집기 관계도 따라 나온다.

• 상용로그: 밑이 $10$ 인 로그는 밑을 생략하고 $\log N$ 으로 쓴다. 자릿수를 다루는 데 쓰이는데, $\log N$ 의 정수 부분이 $n$ 이면 $N$ 은 $(n+1)$ 자리 수다. 예를 들어 $\log 3000 \approx 3.48$ 이므로 $3000$ 은 네 자리 수다.
• 성질의 출처는 지수법칙이다. 곱의 로그가 왜 로그의 합이 되는지: 그 배경에는 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ 이 있다. 아래 스테퍼로 한 단계씩 확인해 보자.

밑이 같은 거듭제곱의 곱은 지수를 더한다는 지수법칙에서 출발하면, 곱의 로그가 합이 되는 이유가 자연스럽게 드러납니다. 아래에서 한 단계씩 따라가 보세요.

$$x=a^m,y=a^n$$

m = logₐx, n = logₐy 라 두면 로그의 정의로 x, y 를 이렇게 쓸 수 있다. 아래가 전부 이 한 줄에서 나온다.

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