수2 미적분
평균값 정리
두 점을 잇는 할선과 나란한 접선이 그 사이 어딘가에 반드시 있다. 당연해 보이는 이 말이 「도함수가 양수면 증가한다」 같은 판정의 논리적 근거다. 증가와 감소를 도함수로 판단할 때마다 이 정리를 쓰고 있는 셈이다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 할선과 나란한 접선이 반드시 있다는 것을 안다
- 롤의 정리에서 평균값 정리로 넘어가는 한 걸음을 밟는다
- 증가와 감소의 판정이 이 정리에 기대고 있음을 안다
한 단계씩 유도해 보기
먼저 양 끝의 높이가 같은 경우를 본다. 닫힌 구간에서 연속이고 열린 구간에서 미분가능하면 최댓값이나 최솟값이 구간 안쪽에 생기고, 그 자리에서 접선이 수평이다. 이것이 롤의 정리다.
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외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
할선을 빼서 그림을 수평으로 눕히면 롤의 정리가 그대로 쓰이기 때문이다.
두 끝을 잇는 할선을 긋고 곡선을 그 할선만큼 내린다. 그러면 양 끝의 높이가 같아져 가운데 어딘가에 수평인 접선이 생긴다. 다시 올리면 그 접선이 원래 할선과 나란하다.