기하

포물선의 방정식

y^{2} = 4 p x

포물선은 한 점과 한 직선에서 같은 거리에 있는 점의 모임이다. 그 한 문장을 좌표로 옮기고 근호를 없애면 표준형이 그대로 나온다. 외울 것은 식이 아니라 「초점과 준선까지가 같다」는 정의 쪽이다.

이 공식, 이렇게 학습하세요

곡선 위의 어느 점에서 재도 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같다. 그 한 문장을 좌표로 적고 양변을 제곱하면 x 의 제곱과 p 의 제곱이 양쪽에서 지워지고 y 의 제곱 = 4px 만 남는다.

(x - p)^{2} + y^{2} = ∣ x + p ∣

초점 F(p, 0) 과 준선 x = 마이너스 p 를 잡고 정의를 그대로 적는다. 왼쪽은 점 P(x, y) 에서 초점까지, 오른쪽은 준선까지의 거리다.

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외우지 않아도 된다

초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같다는 정의를 제곱해 푼 결과이기 때문이다.

초점을 (p, 0), 준선을 x = 마이너스 p 로 두고 두 거리를 같다고 적는다. 제곱해서 펼치면 x 의 제곱과 p 의 제곱이 양쪽에서 지워지고 y 의 제곱 = 4px 만 남는다. 4 는 외우는 수가 아니라 2px 가 양쪽에서 부호를 달리해 합쳐진 결과다.

문제. 초점이 (2, 0) 이고 준선이 x = 마이너스 2 인 포물선의 방정식을 구하시오.

답. y의 제곱 = 8x

p 가 2 이므로 4p 는 8 이다. 표준형에 넣으면 y 의 제곱이 8x 다. 꼭짓점은 원점이고 오른쪽으로 열린다.