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미적분
매개변수로 나타낸 함수의 미분
dxdy=dx/dtdy/dt
x 와 y 가 각각 시간 같은 제3의 변수로 주어지면 y 를 x 로 직접 푸는 일이 어렵거나 불가능하다. 그런데 기울기는 두 변화율의 비일 뿐이라 t 로 각각 미분해 나누기만 하면 된다. 소거할 필요가 없다는 것이 이 공식의 값이다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 두 변화율의 비로 기울기를 구한다
- x 를 소거하지 않고 접선을 구한다
- dx/dt 가 0 인 자리에서 무슨 일이 생기는지 안다
한 단계씩 유도해 보기
x 와 y 가 각각 t 로 움직이면 짧은 시간 동안 가로로 dx/dt 만큼, 세로로 dy/dt 만큼 간다. 그 둘을 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변 방향이 곧 접선이고, 기울기는 세로 나누기 가로다. t 를 없앨 필요가 없다. x=f(t),y=g(t)
x 와 y 가 각각 t 의 함수다. t 가 조금 변하면 두 값이 함께 조금씩 변한다.
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외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
기울기가 두 변화율의 비이고, 둘 다 t 로 재면 t 가 약분되기 때문이다.
델타 y 나누기 델타 x 를 적고 위아래를 델타 t 로 나눈다. 값이 안 변하는데 모양이 두 도함수의 비가 된다. 분모가 dx/dt 라는 것만 기억하면 위아래를 뒤집을 일이 없다.
🧠 공식 전체를 외울 것과 되살릴 것으로 가른 표 →
직접 만져 보기
t = 1 dx/dt = 2 dy/dt = 3
dy/dx = 3 ÷ 2 = 1.5
점 P(1, 1) · 두 변화율을 두 변으로 놓으면 빗변이 접선 방향이다
t 를 밀면 점이 곡선을 따라 가고 그 자리의 접선이 함께 기운다. 가로 변화 dx/dt 와 세로 변화 dy/dt 를 두 변으로 놓으면 빗변의 기울기가 곧 접선의 기울기다. t 를 없앨 필요가 없다.
교과서 예제 x = t² · y = t³ 위의 t 가 1 이고 점 P 는 1, 1 입니다. dx/dt 는 2, dy/dt 는 3 이고 그 비인 기울기는 1.5 입니다.
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