수1 기하
호도법과 부채꼴
중1 때 배운 부채꼴 공식에는 360 이라는 숫자가 계속 끼어들었다. 각을 도 대신 반지름을 기준으로 재면 그 숫자가 사라지고, 호의 길이와 넓이가 곱셈 하나로 끝난다. 이렇게 잰 각의 단위가 라디안이다. 편해지려고 바꾼 단위가 나중에 삼각함수를 미분할 때 결정적인 역할을 한다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 호도법의 정의에서 호의 길이 공식을 이끌어 낸다
- 부채꼴의 넓이를 중심각으로도 호의 길이로도 구한다
- 도 단위 각을 그대로 대입하면 안 되는 이유를 설명한다
한 단계씩 유도해 보기
호도법의 정의다. 호의 길이가 반지름의 몇 배인지를 각의 크기로 삼는다. 길이를 길이로 나눈 값이라 단위가 없다.
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외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
정의가 곧 첫 공식이고, 넓이는 원 전체에서 각이 차지하는 비율 하나로 나온다.
θ = 호의 길이 ÷ 반지름이라는 정의를 먼저 적는다. 양변에 r 을 곱하면 호의 길이가 rθ 다. 넓이는 원 전체 πr² 에 각의 비율 θ/2π 를 곱해 ½r²θ 다. 계수 ½ 이 헷갈리면 한 바퀴를 넣어 본다. θ = 2π 면 ½ × r² × 2π = πr² 으로 원 전체 넓이가 나오고, 호의 길이도 r × 2π = 2πr 로 둘레가 나온다. 각이 도로 주어졌으면 π/180 을 곱해 라디안으로 바꾼 다음에 넣는다.