호도법과 일반각

개요

01에서 다룬 삼각비는 $0°$ 와 $90°$ 사이의 각만 다뤘다. 하지만 각은 원래 $360°$ 를 넘어서도, 음의 방향으로도 얼마든지 커질 수 있다. 시계 방향으로 두 바퀴 반을 돌았다면 그 각을 어떻게 적을까? 이번 소단원은 먼저 이렇게 회전으로서의 각, 곧 일반각을 정리한다.

그 다음엔 각을 재는 단위 자체를 바꾼다. 도(°)는 원을 $360$ 등분한 임의의 단위일 뿐이라 $360$ 이라는 숫자가 계속 공식에 끼어든다. 반지름과 호의 길이 자체를 기준으로 각을 재면 이 숫자가 사라지는데, 이렇게 정의한 각의 단위가 라디안이고 이 측정법을 호도법이라 한다. 호도법을 쓰면 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식이 곱셈 하나로 간단해지고, 나중에 미적분에서 $\sin x$ 를 미분할 때도 라디안이 아니면 공식이 지저분해진다. 지금 익히는 라디안이 그 밑준비다.

이 소단원 다음부터는 각을 라디안으로 적는 것을 기본으로 한다. 처음 나오는 각이나 헷갈리기 쉬운 자리에는 도(°)를 괄호에 함께 적어 둔다.

핵심 사실

여기서 $n$ 이 정수라는 조건을 놓치면 안 된다. $n$ 을 소수나 분수로 잘못 넣으면 전혀 다른 동경이 나온다.

• 동경이 있는 사분면: 동경이 $x$ 축, $y$ 축 위에 있지 않으면 제1~4사분면 중 하나에 속한다. 이때 $\theta$ 는 일반각 $360° \times n + \theta$ 의 $\theta$ 만 보고 사분면을 판정하면 된다. $n$ 은 몇 바퀴를 더 돌았는지만 나타낼 뿐, 동경의 최종 위치에는 영향을 주지 않는다.

• 호도법의 정의: 반지름 $r$ 인 원에서, 길이가 반지름과 같은 호($=r$)에 대한 중심각의 크기를 $1$ 라디안이라 정의한다. 중심각과 호의 길이는 비례하므로, 중심각이 라디안이라는 단위 하나로 정해지면 호의 길이는 반지름의 몇 배인지가 그대로 계산된다.

• 도와 라디안의 환산: 반지름 $r$ 인 원의 둘레는 $2\pi r$ 이고, 이는 반지름 길이 $r$ 짜리 호가 $2\pi$ 개 들어간 것과 같다. 그래서 한 바퀴($360°$)는 $2\pi$ 라디안이다.

$$180° = \pi \ \text{(라디안)}$$

이 한 줄만 기억하면 나머지는 비례식으로 다 나온다. 도를 라디안으로 바꿀 때는 $\dfrac{\pi}{180}$ 을 곱하고, 라디안을 도로 바꿀 때는 $\dfrac{180}{\pi}$ 를 곱한다.

• 특수각의 라디안 표기: $180° = \pi$ 를 기준으로 자주 쓰는 각을 라디안으로 바꿔 두면 아래 비교표처럼 정리된다. 라디안은 보통 단위를 생략하고 $\pi$ 가 붙은 수 자체로 적는다.

• 일반각도 라디안으로 적는다: 위에서 정리한 일반각 $360° \times n + \theta$ 를 라디안으로 옮기면 다음과 같다. 한 바퀴가 $2\pi$ 이므로 $360°$ 자리에 $2\pi$ 가 들어갈 뿐, 뜻은 똑같다.

$$2n\pi + \theta \qquad (n \text{은 정수},\ 0 \le \theta < 2\pi)$$

• 부채꼴의 호의 길이와 넓이: 반지름 $r$, 중심각 $\theta$(라디안)인 부채꼴에서, 호의 길이 $l$ 은 중심각에 정비례하고 넓이 $S$ 는 원 전체 넓이에서 중심각이 차지하는 비율만큼이다.

$$l = r\theta, \qquad S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}rl$$

두 공식 모두 $\theta$ 가 라디안일 때만 성립한다. 도 단위 각을 그대로 넣으면 값이 완전히 틀어진다.