수1 수와연산
유리수 지수
지수가 자연수일 때 거듭제곱은 같은 수를 몇 번 곱하는지를 뜻했다. 그러면 지수가 2/3 이라는 것은 무슨 뜻인가. 답은 뜻을 새로 지어내는 것이 아니라 지수법칙이 깨지지 않도록 값을 정하는 것이다. 그렇게 하면 분수 지수는 거듭제곱근이 될 수밖에 없다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 분수 지수가 거듭제곱근으로 해석되는 근거를 지수법칙에서 찾는다
- 거듭제곱근과 분수 지수를 서로 바꿔 쓴다
- 밑이 양수라는 조건이 왜 필요한지 설명한다
한 단계씩 유도해 보기
지수법칙 (a^m)^n = a^(mn) 이 분수 지수에서도 살아 있다고 두면, a^(1/n) 을 n 번 곱한 값은 a 다.
1 / 4 단계
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
지수법칙이 깨지지 않게 하려면 이 값밖에 될 수 없다. 값을 정하는 과정이 곧 유도다.
a^(1/n) 을 n 번 곱하면 지수가 1 이 되어 a 로 돌아온다는 데서 시작한다. n 제곱해서 a 가 되는 수는 n 제곱근이므로 a^(1/n) 은 ⁿ√a 다. 분자 m 은 그 위에 m 제곱을 얹는 것뿐이다. 분모가 근호의 차수이고 분자가 거듭제곱의 지수라고 붙잡는다. 헷갈리면 8^(2/3) 으로 확인한다. 세제곱근 8 은 2 이고 그것을 제곱하면 4 인데, 뒤바꿔 읽어 √(8³) 으로 계산하면 √512 라 전혀 다른 값이 나온다. 밑이 음수이면 지수법칙 자체가 어긋나는 경우가 생기므로 a > 0 에서만 쓴다.
이런 실수를 조심하세요
- 분모와 분자를 뒤바꿔 ᵐ√(aⁿ) 으로 쓰는 경우. 분모가 근호의 차수다
- 밑이 음수인데 그대로 쓰는 경우. a > 0 조건이 빠지면 지수법칙이 깨진다
- a^(m/n) 을 a^m ÷ a^n 으로 읽는 경우. 나눗셈이 일어나는 곳은 지수 자리이지 식 전체가 아니다
예제
문제. 8^(2/3) 의 값을 구하시오.
답. 4
8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4 이다. ∛(8²) = ∛64 = 4 로 계산해도 같다.