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지수의 확장

자연수 지수에서 출발해 0, 음수, 유리수 지수까지, 지수법칙은 그대로 살아남는다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

지수법칙 계산은 중학에서 이어져 금방 붙는다. 배점은 유리수 지수를 거듭제곱근으로 옮기는 자리다.

8^{\frac{2}{3}}

같은 값을 손으로 정리하지 못하면 로그 단원 전체가 막힌다. 자연수 지수 연습은 줄이고 분수 지수 하나에 시간을 몰아 준다.

여기서 무너집니다

2^{- 3}

을

- 8

이라 쓴다. 지수의 마이너스를 값의 부호로 읽기 때문이다. 표를 아래로 내려가며 채우게 한다.

2^{3} = 8

2^{2} = 4

2^{1} = 2

2^{0} = 1

2^{- 1} = ?

로 한 칸씩 반으로 줄여 가면

a^{0} = 1

과

a^{- n}

이 역수라는 것이 같은 줄에서 한꺼번에 나온다.

확인 질문

$2^{- 3}$ 은 얼마입니까? $2^{0}$ 은 왜 $1$ 입니까?

$\frac{1}{8}$ 과 함께 "한 칸 내려갈 때마다 반이 되니까"가 나오면 통과. $- 8$ 이라 답하면 부호와 역수를 섞은 것이니, 로그로 넘어가기 전에 여기서 멈춘다.

개요

Unit 3 식의 계산에서 우리는 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ 같은 지수법칙을 배웠다. 그때의 지수는 “몇 번 곱했는가”를 세는 수, 곧 자연수였다. 그런데 지수가 꼭 자연수여야 할 이유는 없다. 만약 지수를 $0$ , 음수, 나아가 유리수까지 넓히더라도 지금까지의 규칙이 깨지지 않도록 그 값을 정한다면, 우리는 훨씬 넓은 세계를 얻는다. 이 단원은 바로 그 확장의 이야기다. 새 규칙을 억지로 외우는 것이 아니라, 기존 지수법칙이 계속 성립하려면 이렇게 정할 수밖에 없다는 흐름을 따라가 보자.

핵심 사실

정의

0 지수: $a^0 = 1$ (단, $a \neq 0$ ). $a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0$ 인데, 같은 수를 자기 자신으로 나누면 $1$ 이다. 지수법칙이 살아남으려면 $a^0 = 1$ 로 정할 수밖에 없다.

음수 지수: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ . $a^0 = a^{n + (-n)} = a^n \times a^{-n}$ 이 $1$ 이 되어야 하므로, $a^{-n}$ 은 $a^n$ 의 역수가 된다.
거듭제곱근: $n$ 제곱해서 $a$ 가 되는 수를 $\sqrt[n]{a}$ 로 쓴다. 예컨대 $\sqrt[3]{8} = 2$ 는 세 번 곱해 $8$ 이 되는 수다. ( $n = 2$ 일 때가 우리가 아는 근호 $\sqrt{a}$ .)
거듭제곱근의 성질: $a > 0$ , $b > 0$ 일 때 지수법칙이 그대로 옮겨 온다.

\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab},\qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}},\qquad (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m},\qquad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}

넷처럼 보이지만 외울 것은 하나다. $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ 로 갈아입히면 전부 이미 아는 지수법칙이고, 계산이 끝난 뒤 다시 근호로 되돌리면 된다. 한 줄 사슬로 이은 것이 거듭제곱근의 성질 편이다.

유리수 지수: 분수 지수는 거듭제곱근으로 해석한다.

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \qquad (a > 0)

예: $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$ . 또는 순서를 바꿔 $(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$ 로 계산해도 같다. 세제곱근을 먼저 구하는 쪽이 대개 편하다.

규칙은 그대로: 이렇게 지수의 범위를 넓혀도 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$ 같은 지수법칙은 그대로 성립한다. 애초에 그 규칙이 깨지지 않도록 값을 정했기 때문이다.

지수를 넓힌다는 말이 그림으로는 곡선 위의 점을 옮기는 일입니다. 아래에서 지수를 $0$ 으로 옮기면 밑이 무엇이든 값이 $1$ 이 되고, 음수 쪽으로 밀면 역수가, 분수 자리에서는 거듭제곱근이 풀어 쓰입니다. 프리셋으로 $8^{2/3}$ 을 눌러 위의 예가 그대로 나오는지 확인해 보세요. 지수를 왼쪽으로 아무리 밀어도 값이 0 에 닿지 않는다는 것도 여기서 보입니다. 다음 소단원의 점근선 이야기입니다.

밑 a = 2 지수 x = 1/2

밑은 2 이고 증가함수입니다. 지수가 0.5 일 때 값은 1.414 입니다. 2제곱근(2^1) = 2제곱근(2) = 1.414

비교표

지수의 범위	의미	예
자연수 $n$	밑을 $n$ 번 거듭 곱한 것	$2^3 = 8$
$0$	항상 $1$ ( $a \neq 0$ )	$2^0 = 1$
음수 $-n$	$a^n$ 의 역수	$2^{-3} = \dfrac{1}{8}$
유리수 $\frac{m}{n}$	거듭제곱근 ( $a > 0$ )	$8^{\frac{2}{3}} = 4$

시험 포인트

$a^{-n}$ 은 음수가 아니라 역수다. $2^{-3} = -8$ 이 아니라 $\dfrac{1}{8}$ 이다. 부호가 아니라 위아래가 뒤집힌다.
$8^{\frac{2}{3}}$ 을 “8을 $\frac{2}{3}$ 번 곱한다”로 읽으면 안 된다. $\sqrt[3]{8^2}$ 처럼 세제곱근을 거쳐 계산한다.
지표가 다르면 먼저 맞춘다. $\sqrt[3]{2} \times \sqrt{2}$ 를 그냥 묶을 수 없다. 둘 다 지수로 고쳐 $2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{2^5}$ 처럼 지표를 $6$ 으로 맞춘 뒤에야 하나가 된다.
유리수 지수 $a^{\frac{m}{n}}$ 은 $a > 0$ 조건에서 다룬다. 밑이 음수이면 홀짝에 따라 값이 없거나 복잡해지므로, 시험에서는 밑의 부호를 먼저 확인하자.

흔한 실수

$a^0$ 은 $0$ 이 아니라 $1$ 이다. 지수가 $0$ 이라고 값이 $0$ 이 되는 것이 아니다.

예제로 익히기 따라 풀기

기초 예제 1

$1 6^{\frac{3}{4}}$ 의 값을 구해 보자.

먼저 스스로 풀어 보세요. 막히면 한 단계씩 열어 확인합니다.

0 / 3 단계

시험 예제 2

$3^{0} + (\frac{1}{2})^{- 3}$ 의 값을 구해 보자.

먼저 스스로 풀어 보세요. 막히면 한 단계씩 열어 확인합니다.

0 / 4 단계

스스로 확인하기 점검

기초 1 / 5

$8^{\frac{2}{3}}$ 의 값은?

기초 2 / 5

$2^{- 3}$ 의 값은?

시험 3 / 5

$2^{\frac{1}{2}} \times 4^{\frac{3}{4}}$ 을 간단히 하면?

시험 4 / 5

$2 7^{- \frac{2}{3}}$ 의 값은?

도전 5 / 5

$a^{\frac{2}{3}} = 4$ 일 때, $a$ 의 값은?

완료로 두면 대수 지수·로그와 수열 목차에 표시됩니다.