고1 문자와식
나머지정리와 조립제법
나머지정리는 나눗셈을 하지 않고 나머지를 구하는 지름길이다. 다항식을 x − a 로 나눈 나머지가 P(a) 하나로 정해지기 때문이다. 조립제법은 같은 사실을 계산으로 옮긴 것이라, 둘은 따로 외울 것이 아니라 한 쌍이다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- P(x) 를 x − a 로 나눈 나머지가 P(a) 임을 나눗셈 정리에서 끌어낸다
- 조립제법이 왜 계수만 적어도 되는지 설명한다
- 조립제법에서 빼지 않고 곱해서 더하는 이유를 안다
한 단계씩 유도해 보기
다항식 나눗셈도 정수 나눗셈과 같은 꼴이다. 나머지의 차수는 나누는 식보다 낮은데 x − a 가 일차이므로 R 은 상수다.
1 / 5 단계
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
나눗셈 정리에 x = a 를 넣는 한 걸음이다. 조립제법도 그 계산을 계수만으로 옮긴 것이라 따로 외울 것이 없다.
P(x) = (x−a)Q(x) + R 을 적고 x 에 a 를 넣는다. 앞 항이 0 이 되어 R = P(a) 만 남는다. 그것이 전부다. 조립제법의 부호가 헷갈리면 나누는 식을 0 으로 만드는 수를 쓴다고 붙잡는다. x − 1 이면 1, x + 1 이면 −1 이다. 끝의 수가 0 이면 나누어떨어진 것이고, 그때 P(a) = 0 이라는 인수정리가 된다.
이런 실수를 조심하세요
- x + 1 로 나눌 때 조립제법에 1 을 쓰는 경우. 나누는 식을 0 으로 만드는 −1 을 쓴다
- 계수를 적을 때 빠진 차수를 건너뛰는 경우. x³ + 1 은 1, 0, 0, 1 로 적는다
- 나머지정리로 나머지만 구한 뒤 몫까지 물었을 때 다시 나눗셈을 하는 경우. 조립제법이면 몫의 계수가 함께 나온다
예제
문제. P(x) = x³ − 2x² + 3 을 x − 2 로 나눈 나머지를 구하시오.
답. 3
P(2) = 8 − 8 + 3 = 3 이므로 나머지는 3 이다.