급수를 정적분으로 바꾸기 공식 · 유도와 예제

정적분은 원래 잘게 쪼개 더한 것의 극한이다. 그러니 그런 꼴의 극한을 만나면 거꾸로 적분으로 되돌릴 수 있다. 시험에서 계산이 불가능해 보이는 급수가 나오면 대개 이 되돌리기를 묻는 것이다.

이 공식, 이렇게 학습하세요

구간을 n 등분하면 조각의 폭이 n 분의 1 이고 k 번째 오른쪽 끝이 n 분의 k 다. 그 위에 세운 막대의 넓이를 모두 더한 것이 리만합이고, n 을 키우면 막대가 곡선에 붙어 정적분이 된다. 급수를 만나면 이 그림을 거꾸로 읽는다.

Δ x = \frac{1}{n}, x_{k} = \frac{k}{n}

구간 0 에서 1 까지를 n 등분한다. 조각 하나의 폭이 n 분의 1 이고 k 번째 조각의 오른쪽 끝이 n 분의 k 다.

1 / 2 단계· 💎 2단계 더

외우지 않아도 된다

정적분의 정의가 애초에 잘게 쪼개 더한 것의 극한이기 때문이다.

급수에서 n 분의 1 을 먼저 떼어 낸다. 그것이 폭이다. 남은 곳에서 n 분의 k 를 찾아 x 로 바꾼다. 구간은 k 가 1 일 때와 n 일 때의 값이 정한다. 폭을 못 떼어 내면 적분으로 바뀌지 않는 급수다.

아래끝 a = 0 위끝 b = 2 쪼갠 수 n = 6

직사각형 6개의 합 S₆ = 2.037 n 을 늘려 보세요. 막대가 곡선에 붙으면서 합이 아래 값으로 다가갑니다

∫_a^b (x²) dx = [x³/3]_a^b = 2.667 − 0 = 2.667

차이 = 0.63 왼쪽 끝값으로 세운 막대라 늘 조금 모자라거나 넘친다. 다만 n 을 두 배로 하면 차이도 절반이 되고, n 을 한없이 키우면 0 으로 간다. 정적분은 그 극한값이다

n 6 · 합 2.037 · 정적분 2.667 · 차 0.63

y = x² 을 0 부터 2 까지 6 개의 직사각형으로 쪼갰습니다. 직사각형의 합은 2.037 이고 정적분의 값은 2.667 입니다.