정적분의 활용

개요

정적분은 결국 잘게 쪼개어 더한 것의 극한이다. 넓이를 구할 때는 가느다란 직사각형으로, 부피를 구할 때는 얇은 원판으로, 움직인 거리를 구할 때는 짧은 시간 동안의 이동으로 쪼갠다. 쪼개는 대상만 다를 뿐 구조는 언제나 같다.

미적분Ⅰ에서는 다항함수 그래프 아래의 넓이를 구했다. 미적분Ⅱ는 적분할 수 있는 함수가 늘어난 만큼 다룰 수 있는 도형도 늘어나고, 넓이를 넘어 부피·곡선의 길이까지 나아간다. 2000년 전 아르키메데스가 원을 잘게 쪼개 넓이를 구한 방법이 여기서 일반적인 도구가 된 셈이다.

핵심 사실

• 곡선과 $x$ 축 사이의 넓이: 구간에서 $f(x) \ge 0$ 이면 $\int_a^b f(x)dx$ 가 곧 넓이다. $f(x) < 0$ 인 구간에서는 정적분이 음수가 되므로 넓이를 구하려면 절댓값을 씌우거나 구간을 나눈다.

$$S = \int_a^b |f(x)|\,dx$$

• 두 곡선 사이의 넓이: 위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 뺀다.

$$S = \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx \qquad (f \ge g)$$

막대 하나하나를 위 곡선 빼기 아래 곡선의 높이로 세워 보면, 두 곡선 사이의 넓이도 결국 앞서 본 것과 똑같은 정적분(잘게 쪼개 더한 것의 극한)임이 드러난다. 곡선을 바꾸면 교점이 자동으로 구간의 양 끝이 되고, $n$ 을 늘리면 막대의 합이 정적분의 값에 붙는다.

y = 4 − x² 과 y = x² − 4 사이 (교점 ±2)y = 4 − x² 과 y = x² 사이 (교점 ±√2)

정적분 · 쪼개서 더하기부정적분 · 원시함수의 무리두 곡선 사이 · 위 빼기 아래곡선의 길이 · 꺾어서 재기쌓인 넓이 · 미분하면 높이대칭 구간 · 짝지어 세기속도 · 변화량과 거리

위 f y = x²y = 4 − x²y = x² − 4y = x³ − 3x

아래 g y = x²y = 4 − x²y = x² − 4y = x³ − 3x

아래끝 a = −2 위끝 b = 2 쪼갠 수 n = 20

막대 20개의 합   S₂₀ = 21.28 막대의 높이는 위 곡선(y = 4 − x²) 빼기 아래 곡선(y = x² − 4)이다. n 을 늘리면 곡선에 붙으면서 정확한 값으로 다가갑니다

∫_a^b (4 − x² − (x² − 4)) dx = [4x − x³/3 − (x³/3 − 4x)]_a^b = 21.333

차이 = 0.053 "위에서 아래를 뺀 것"을 하나의 함수로 보고 적분하는 것도 결국 보통의 정적분이다. n 을 키우면 이 차이도 0 으로 간다

n 20 · 합 21.28 · 정적분 21.333 · 차 0.053

y = 4 − x² 과 y = x² − 4 사이를 −2 부터 2 까지 20 개의 막대(f−g 높이)로 쪼갰습니다. 막대의 합은 21.28 이고 정적분의 값은 21.333 입니다.

• 회전체가 아닌 입체의 부피: 단면적을 $S(x)$ 라 하면 얇은 판을 쌓는 셈이므로

$$V = \int_a^b S(x)\,dx$$

• 회전체의 부피: 단면이 반지름 $f(x)$ 인 원이므로 $S(x) = \pi\{f(x)\}^2$ 을 넣는다.

$$V = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx$$

• 속도와 거리: 시각 $t$ 에서 속도가 $v(t)$ 일 때, 위치의 변화량과 실제 움직인 거리는 다르다.

$$\text{위치 변화} = \int_a^b v(t)\,dt,\qquad \text{움직인 거리} = \int_a^b |v(t)|\,dt$$

• 되돌아온 만큼이 상쇄되는 것이 위치 변화이고, 상쇄 없이 모두 더한 것이 움직인 거리다. (속도로 구하는 위치 변화와 거리에 단계별 유도를 적어 두었다.)
• 곡선의 길이: 매개변수로 나타낸 곡선 $x=f(t),\ y=g(t)$ 의 길이는

$$l = \int_a^b \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}\,dt$$

• 아주 짧은 조각을 빗변으로 보고 피타고라스 정리를 적용해 더한 것이다.
• $y = f(x)$ 꼴 곡선의 길이: 이 경우도 따로 외울 것이 없다. $y = f(x)$ 는 매개변수를 $x$ 자체로 잡은 특수한 경우, 곧 $x = t,\ y = f(t)$ 이기 때문이다. 그러면 $\dfrac{dx}{dt} = 1$, $\dfrac{dy}{dt} = f'(t)$ 이므로 위 식의 근호 안이 $1^2 + \{f'(t)\}^2$ 이 되고, $t$ 를 다시 $x$ 라 쓰면 다음이 나온다.

$$l = \int_a^b \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}\,dx$$

• 근호 안의 $1$ 은 $x$ 방향으로 나아간 몫이고 $\{f'(x)\}^2$ 은 그동안 $y$ 가 오르내린 몫이다. $f'(x) = 0$ 인 수평선이면 근호 안이 $1$ 이 되어 길이가 곧 구간의 폭 $b - a$ 가 되는 것으로 식이 옳게 세워졌는지 확인할 수 있다.