확률과통계
표본평균의 분포
아무 모양이라도 평균은 종 모양
표본평균들의 평균 = 5.16 (m = 5.10) 표본평균들의 표준편차 = 1.87 (σ/√n = 1.78)
퍼짐이 유한한 모집단이면 모양이 어떻든 표본평균은 m 을 중심으로 종 모양으로 모이고, 퍼짐은 σ/√n 으로 줄어든다. 갈톤 보드가 이항분포의 이야기라면 이것은 거의 모든 분포의 이야기다.
표본을 뽑을 때마다 평균이 달라지므로 표본평균 자체가 확률변수다. 그런데 그 흔들림에 규칙이 있다. 중심은 모평균 그대로이고 흩어짐만 줄어드는데, 줄어드는 몫이 n 이 아니라 n 의 제곱근이다. 표본을 키워도 정확도가 그만큼은 안 오르는 까닭이 여기 있다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 표본평균을 확률변수 n 개의 합으로 쓴다
- 평균은 그대로인데 분산만 n 으로 나뉘는 까닭을 본다
- 표본 크기를 4 배로 해야 표준편차가 절반이 되는 것을 확인한다
한 단계씩 유도해 보기
표본평균의 정의다. n 은 미리 정한 상수이고, X 하나하나는 모집단과 같은 분포를 따르며 서로 독립인 확률변수다.
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외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
평균은 상수배가 그대로 빠져나오고 분산은 제곱이 되어 빠져나온다.
표본평균을 확률변수 n 개의 합을 n 으로 나눈 것으로 본다. 평균에서는 n 이 약분되어 모평균이 그대로 남고, 분산에서는 상수배가 제곱으로 나와 n 의 제곱분의 1 이 걸린다. 독립이라 합의 분산이 n 곱하기 시그마의 제곱이므로 결과가 n 분의 시그마의 제곱이다. 표준편차는 그 제곱근이다.