통계적 추정

개요

전국 고등학생의 평균 키를 알고 싶다고 하자. 모두를 재는 것은 불가능하다. 그래서 일부만 뽑아 재고, 그 결과로 전체를 추측한다. 이것이 통계의 실제 쓰임이며, 앞 소단원까지 쌓은 확률은 이 추측이 얼마나 믿을 만한지를 재기 위한 도구였다.

핵심 발견은 이것이다: 표본평균 $\overline{X}$ 자체가 확률변수다. 어떤 표본을 뽑느냐에 따라 값이 달라지기 때문이다. 그런데 그 흔들림에는 규칙이 있어서, 표본평균은 모평균을 중심으로 하는 정규분포를 따르고 그 흩어짐은 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 로 줄어든다. 표본을 키울수록 추측이 정확해지는 이유가 이 $\sqrt{n}$ 안에 들어 있다.

핵심 사실

• 모집단은 조사 대상 전체, 표본은 그중 실제로 뽑은 일부다. 표본을 뽑는 시행마다 값이 달라지므로 표본평균 $\overline{X}$ 는 확률변수다.
• 표본평균의 분포: 모평균 $m$, 모표준편차 $\sigma$ 인 모집단에서 크기 $n$ 인 표본을 뽑으면

$$E(\overline{X}) = m,\qquad V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n},\qquad \sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

• 평균은 그대로, 흩어짐만 줄어든다는 것이 요점이다. $n$ 을 $4$ 배로 늘리면 표준편차는 절반이 된다.
• 모집단이 정규분포면 $\overline{X}$ 도 정규분포를 따른다. 모집단이 정규분포가 아니어도 $n$ 이 충분히 크면 근사적으로 정규분포를 따른다(중심극한정리).
• 모평균의 신뢰구간: 모표준편차 $\sigma$ 를 알 때, 표본평균이 $\overline{x}$ 이면

$$\overline{x} - k\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \;\le\; m \;\le\; \overline{x} + k\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

• 신뢰도에 따라 $k$ 가 정해진다: $95\%$ 이면 $k = 1.96$, $99\%$ 이면 $k = 2.58$ 이다. 표준화한 $Z$ 가 그 범위에 들어갈 확률에서 나온 값이다.

• 구간의 길이는 $2k\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 다. 신뢰도를 높이면 길어지고, 표본 크기를 키우면 짧아진다. 정확도와 확신은 맞바꾸는 관계다.

• 신뢰도 $95\%$ 의 뜻: 같은 방법으로 표본을 $100$ 번 뽑아 구간을 $100$ 개 만들면 그중 약 $95$ 개가 모평균을 포함한다는 뜻이다. 모평균이 그 구간에 있을 확률이 $95\%$ 라는 말이 아니다. 모평균은 고정된 값이고, 흔들리는 쪽은 구간이다.

• 모비율의 신뢰구간: 비율을 물을 때도 꼴은 같고 흩어짐을 재는 자리만 다르다. $n$ 명 중 $X$ 명이 찬성했다면 표본비율은 $\hat{p} = \dfrac{X}{n}$ 이고, $n$ 이 충분히 크면

$$\hat{p} - k\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \;\le\; p \;\le\; \hat{p} + k\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

• 근호 안이 표본비율의 분산이다. $X$ 가 이항분포를 따르므로 $V(X) = np(1-p)$ 이고, 그것을 $n$ 으로 나눈 $\hat{p}$ 의 분산이 $\dfrac{p(1-p)}{n}$ 이다. 정작 모르는 $p$ 가 남아 있어 그 자리에 표본비율을 넣어 쓴다. 단계별 유도는 모비율의 신뢰구간 편에 있다.
• $\hat{p} = 0.5$ 일 때 근호 안이 가장 커져 구간이 가장 넓어진다. 조사에 필요한 표본 크기를 미리 정할 때는 이 최악의 경우를 쓴다.