미적분
회전체의 부피
곡선 아래 넓이를 구할 때 얇은 직사각형을 쌓았듯이, 회전체의 부피는 얇은 원판을 쌓아 구한다. x 에서 회전축에 수직으로 자르면 단면은 반지름이 f(x) 인 원이고, 그 넓이를 a 부터 b 까지 더한 것이 부피다. 새로 외울 것은 단면이 원이라는 사실 하나뿐이다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 단면의 넓이를 적분하면 부피가 된다는 원리를 설명한다
- x 축 회전과 y 축 회전에서 적분변수를 구분해 식을 세운다
- 제곱과 π 를 빠뜨리지 않고 부피를 계산한다
한 단계씩 유도해 보기
x 에서 회전축에 수직으로 자른다. 단면은 반지름이 f(x) 인 원이다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
단면이 반지름 f(x) 인 원이라는 그림 하나에서 바로 나온다.
자른 단면을 먼저 그린다. 반지름이 f(x) 인 원이므로 넓이는 πf(x)² 이고, 두께 dx 를 곱해 a 부터 b 까지 더하면 부피다. 넓이를 구할 때 ∫f(x)dx 이던 자리에 π·f(x)² 이 들어간 것뿐이다. 검산은 원기둥으로 한다. f(x) = r 인 상수함수를 0 부터 h 까지 돌리면 πr²h 가 나와야 하는데 공식에 넣으면 그대로 나온다. y 축 회전이면 x = g(y) 로 고쳐 π∫g(y)²dy 로 쓴다.