중1 기하
구의 겉넓이
구를 감은 끈을 풀면
풀린 끈으로 채운 원 = 4.00 개 구를 감은 끈 192.0r ÷ 원 하나 48.0r 구 겉넓이 = 4 × πr²
구를 빈틈없이 감은 끈을 풀어 반지름이 같은 원을 감아 채우면 꼭 네 개가 찹니다. 구의 겉넓이는 반지름이 같은 원 넓이의 네 배, 4πr² 입니다. 아르키메데스는 원기둥에 꼭 맞게 든 구를 자기 무덤에 새겨 달라고 했습니다. 구의 부피와 겉넓이가 모두 그 원기둥의 3분의 2라는 것이 그의 발견입니다.
구는 펼칠 수 없다. 그래서 전개도로 겉넓이를 구하는 길이 막힌다. 대신 교과서는 실을 감았다가 풀어 옮겨 본다. 구의 겉면을 덮은 실을 반지름이 같은 원에 채우면 꼭 네 개가 찬다. 겉넓이에 붙는 4 가 여기서 나온다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 구의 겉넓이가 반지름이 같은 원 넷의 넓이인 것을 실험으로 안다
- 반지름이 주어진 구의 겉넓이를 구한다
- 겉넓이 4πr² 과 부피 4/3 πr³ 을 자리에 맞게 쓴다
한 단계씩 유도해 보기
반구의 겉면을 실로 빈틈없이 감았다가 풀어, 같은 반지름 r 의 원에 안쪽부터 둘러 채운다. 반구 하나가 원 두 개를 채우므로 구 전체는 원 네 개를 채운다. 교과서의 실 감기 실험이 이것이다.
1 / 2 단계· 💎 1단계 더
외울까, 되살릴까
외우는 편이 싸다
실 감기 실험은 값을 확인해 주지만 시험장에서 재현할 유도가 아니다. 엄밀한 유도는 적분이므로 4 라는 수를 외운다.
외울 것은 4 하나다. 구를 감싸는 원기둥의 옆넓이 2πr × 2r 이 4πr² 인 것으로 붙잡으면 두 수가 서로를 검산한다. 겉넓이와 부피가 헷갈리면 지수를 본다. 넓이는 길이 둘의 곱이라 r 이 제곱, 부피는 길이 셋의 곱이라 세제곱이다.