입체도형

개요

평면을 벗어나 공간으로 나오면 입체도형이 된다. 평면도형을 쌓거나(기둥), 한 점으로 모으거나(뿔), 축을 중심으로 돌려서(회전체) 만든다. 겉넓이는 “펼친 전개도의 넓이”, 부피는 “채우는 공간의 크기”로 이해하면 공식이 자연스럽게 연결된다.

핵심 사실

• 정다면체: 모든 면이 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면의 수가 같은 입체. 정사면체·정육면체·정팔면체·정십이면체·정이십면체 5가지뿐이다.
• 회전체: 평면도형을 한 직선(회전축)을 중심으로 돌려 만든 입체. 원기둥·원뿔·구가 있고, 회전축을 품은 단면은 축을 기준으로 좌우 대칭이다.
• 부피:

$$V_{\text{기둥}} = (\text{밑넓이}) \times (\text{높이}), \qquad V_{\text{뿔}} = \frac{1}{3}\times(\text{밑넓이})\times(\text{높이})$$

• 기둥의 겉넓이: 겉넓이는 전개도의 넓이다. 기둥을 펼치면 밑면 두 개 + 옆면 하나가 나오고, 옆면은 직사각형이 된다.

$$S_{\text{기둥}} = 2 \times (\text{밑넓이}) + (\text{밑면의 둘레}) \times (\text{높이})$$

• 옆면이 직사각형인 이유는 펼쳤을 때 가로가 밑면의 둘레, 세로가 높이이기 때문이다. 그래서 반지름 $r$, 높이 $h$ 인 원기둥이면 $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ 이고, 각기둥이면 밑면의 둘레를 각 변의 길이의 합으로 바꿔 쓰기만 하면 된다.
• 원뿔의 겉넓이: 원뿔을 펼치면 밑면 원 하나 + 옆면 부채꼴 하나가 나온다. 그 부채꼴은 반지름이 모선 $\ell$ 이고, 호의 길이가 밑면의 둘레 $2\pi r$ 이다.

$$S_{\text{원뿔}} = \pi r^2 + \pi r \ell$$

• 옆넓이 $\pi r \ell$ 은 부채꼴의 넓이 $\dfrac{1}{2}\times(\text{반지름})\times(\text{호의 길이})$ 에 그 둘을 넣은 것이라 중심각을 구할 필요가 없다. 모선 $\ell$ 은 높이 $h$ 가 아니다. 모선은 옆면을 따라 비스듬히 잰 길이라 언제나 높이보다 길다. 둘을 잇는 식은 중2 의 피타고라스 정리에서 배운다. (원뿔의 겉넓이에 단계별 유도를 적어 두었다.)
• 구 (반지름 $r$): 겉넓이 $S = 4\pi r^2$, 부피 $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

뿔의 부피에 붙는 $\dfrac{1}{3}$ 은 외울 것이 아닙니다. 같은 밑면·높이의 기둥에 뿔이 꼭 세 번 들어간다는 사실입니다. 그리고 구는 아르키메데스가 찾은 원기둥과의 부피비 $2:3$ 에서 나옵니다. 아래에서 그 순서를 따라가 보세요.

$$V_{\text{기둥}}=Sh$$

밑넓이 S 인 면을 높이 h 만큼 평행하게 쌓아 올린 것이 기둥이다. 여기서 출발한다.

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