미적분
sin x 나누기 x 의 극한
📖 이 페이지의 개념극한
각이 작아지면 셋이 하나가 된다
x = 0.35 rad 잰 넓이 0.17145 < 0.17500 < 0.18251
안 ÷ 부채꼴 = 0.9797 비교: sin x ÷ x 계산 0.9797
부채꼴은 안 삼각형보다 크고 밖 삼각형보다 작다. 각이 0 으로 가면 안팎이 같은 값으로 몰리니 가운데 부채꼴도 따라갈 수밖에 없다.
삼각함수 미분 전체가 이 극한 하나에서 나온다. 단위원에서 넓이 셋을 크기 순으로 늘어놓고 조임정리를 쓰면 끝인데, 조건이 하나 붙는다. 각을 라디안으로 재야 한다. 미적분에서 도를 안 쓰는 이유가 여기 있다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 단위원의 넓이 셋을 견주어 극한을 얻는다
- 조임정리를 쓰는 자리를 안다
- 이 극한이 라디안에서만 1 인 까닭을 설명한다
한 단계씩 유도해 보기
반지름이 1 인 원에서 각 x 를 잡는다. 안쪽 삼각형은 부채꼴에 담기고 부채꼴은 접선으로 만든 바깥 삼각형에 담긴다. 셋의 크기 순서가 그림에서 바로 보인다.
1 / 4 단계
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
단위원에서 삼각형과 부채꼴과 삼각형의 넓이가 크기 순으로 끼이기 때문이다.
반지름 1 인 부채꼴을 그리고 안쪽 삼각형과 바깥 삼각형을 함께 그린다. 세 넓이를 적으면 sin x 와 x 와 tan x 가 나란히 놓인다. 양쪽을 1 로 몰아가면 가운데가 끼여 1 이 된다. 라디안이라야 부채꼴 넓이가 x 의 절반이다.
이런 실수를 조심하세요
- 각을 도로 재고 그대로 쓰는 경우: 180분의 파이라는 군더더기가 붙는다
- 분모가 x 가 아닌 꼴에 그대로 쓰는 경우: 분모를 맞추고 그만큼 곱해 준다
- x 가 0 이 아닌 값으로 갈 때도 1 이라고 생각하는 경우: 0 으로 갈 때만 성립한다
예제
문제. x 가 0 으로 갈 때 sin 3x 나누기 x 의 극한을 구하시오.
답. 3
분모를 3x 로 맞추려고 위아래에 3 을 곱한다. sin 3x 나누기 3x 가 1 로 가므로 남은 3 이 답이다.