이 페이지 목차 8개
  1. 개요
  2. 핵심 사실
  3. 비교표
  4. 시험 포인트
  5. 예제
  6. 확인 문제
  7. 이어서 보기
  8. 완료
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삼각함수의 미분

덧셈정리로 분자를 풀고 sin x / x 의 극한을 써서 사인·코사인·탄젠트의 도함수를 얻는다.

📖 이 페이지의 개념삼각함수의 덧셈정리

가르칠 때 짚을 것 교사용
시험에 나오는 것
도함수 세 개는 외우면 된다. 배점은 기본 극한의 꼴을 맞추는 자리다. 를 그대로 로 두는 실수가 반복된다. 암기를 줄이고 분모를 각과 같게 만든 뒤 계수를 곱해 주는 절차를 표준으로 삼는다.
여기서 무너집니다
각을 도 단위로 생각한 채 계산한다. 앞 단원에서 로 익숙해졌기 때문이다. 극한 자체를 무너뜨려 보인다. 도 단위로 두면 가 이 아니라 이 된다. 도함수가 통째로 달라지는 것을 보면 라디안이 약속이 아니라 필요라는 것이 남는다.
확인 질문

는 얼마입니까? 왜 이 아닙니까?

와 함께 "분모를 로 맞추고 를 곱해서"가 나오면 통과. 이라 답하면 공식을 꼴에 맞추지 않고 모양만 보고 꺼낸 것이다.

개요

미분할 수 있는 함수 목록에 삼각함수를 더할 차례다. 출발점은 극한 하나다.

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

이 식이 뜻하는 바는 간단하다. 각이 아주 작을 때 sin⁡x\sin x 와 xx 는 거의 같다는 것이다. 단위원에서 아주 짧은 호의 길이와 그 호에 대응하는 세로 길이가 거의 구분되지 않는 상황을 떠올리면 된다.

여기서 반드시 챙길 조건이 있다. 이 극한은 각을 라디안으로 잴 때만 11 이 된다. 도(°)를 쓰면 π180\frac{\pi}{180} 이라는 군더더기가 붙는다. 미적분에서 각을 라디안으로 재는 이유가 바로 이것이다.

핵심 사실

정의

삼각함수의 덧셈정리: 각을 더하거나 빼면 두 각의 sin 과 cos 이 서로 섞여 나온다.

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β,cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta,\qquad \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

단위원에서 각이 α\alpha, β\beta 인 두 점을 잡고 그 사이의 거리를 좌표로 한 번, 코사인법칙으로 한 번 재면 cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta) 의 식이 먼저 나오고 나머지 셋은 부호만 바꿔 얻는다. β=α\beta = \alpha 를 넣으면 2배각 공식이 그 자리에서 따라 나온다. 유도는 덧셈정리 편에서 한 단계씩 볼 수 있다.

정의

2배각 공식: 덧셈정리에 β=α\beta = \alpha 를 넣은 것이 전부다.

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α,cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1,tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1,\qquad \tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}

cos⁡2α\cos 2\alpha 의 꼴이 셋인 것은 sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 로 한쪽을 다른 쪽으로 바꿔 쓸 수 있기 때문이다. 문제에서 주어진 것이 sin⁡\sin 이면 1−2sin⁡2α1 - 2\sin^2\alpha 를, cos⁡\cos 이면 2cos⁡2α−12\cos^2\alpha - 1 을 고른다. 이 셋째 꼴을 좌우로 뒤집은 cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} 가 삼각함수의 부정적분에서 제곱을 1차식으로 낮추는 데 그대로 쓰인다.

덧셈정리가 도함수를 세우는 문이다. (sin⁡x)′(\sin x)' 를 정의대로 계산하려면 분자 sin⁡(x+h)−sin⁡x\sin(x+h) - \sin x 를 덧셈정리로 풀어야 하고, 그러고 나서야 아래 기본 극한을 쓸 수 있는 꼴이 드러난다.

정의

기본 극한: 각이 라디안일 때

lim⁡x→0sin⁡xx=1,lim⁡x→0tan⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,\qquad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1
  • 삼각함수의 도함수: 미분하면 사인과 코사인이 서로 옮겨 가고, 코사인 쪽에만 음의 부호가 붙는다.
(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x,(tan⁡x)′=sec⁡2x=1cos⁡2x(\sin x)' = \cos x,\qquad (\cos x)' = -\sin x,\qquad (\tan x)' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}

(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x 는 외우기 전에 눈으로 확인할 수 있다. 사인 곡선 위에서 접점을 끌며 기울기를 따라가 보라. 원점에서는 기울기가 11 이고, x=π2x = \frac{\pi}{2} 에서 00 이 되었다가, x=πx = \pi 에서 −1-1 로 내려간다. 접점이 지나간 자리에 남는 기울기의 자취, 그것이 바로 코사인 곡선이다.

−2π−ππ2π1.001

f(x) = sin x 위의 점 x = 0.00 에서 접선의 기울기는 1.00 입니다. 접점을 좌우로 끌면 기울기 자취가 쌓입니다.
  • 코탄젠트도 같은 요령이다. cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} 는 탄젠트의 역수이고, 몫의 미분법을 쓰면 분자가 −(sin⁡2x+cos⁡2x)=−1-(\sin^2 x + \cos^2 x) = -1 이 된다. 이름에 co 가 붙은 쪽에 음의 부호가 붙는 것은 코사인과 같다.
(cot⁡x)′=−1sin⁡2x(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}
  • 네 번 미분하면 제자리로 돌아온다. sin⁡x→cos⁡x→−sin⁡x→−cos⁡x→sin⁡x\sin x \to \cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x 의 순환이며, 이 주기성이 진동 현상을 다루는 열쇠다.
  • exe^x 와 이 고리는 한 식으로 이어진다(교육과정 밖). exe^x 는 미분해도 자기 자신이고 사인 · 코사인은 네 번 미분해야 제자리다. ii 를 네 번 곱해야 11 로 돌아오는 것과 같은 박자다. 지수에 ii 를 넣으면 둘이 맞물려 오일러 공식 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta 가 된다. 수능에는 안 나오지만 사인과 코사인이 왜 이렇게 도는지를 가장 짧게 말해 주는 식이다.
  • 1−cos⁡xx2→12\dfrac{1-\cos x}{x^2} \to \dfrac{1}{2} 도 자주 쓰인다. 분자에 1+cos⁡x1+\cos x 를 곱해 sin⁡2x\sin^2 x 로 바꾼 뒤 기본 극한을 쓰면 나온다.
  • 각의 배수는 계수로 나온다. (sin⁡3x)′=3cos⁡3x(\sin 3x)' = 3\cos 3x 처럼 안쪽 함수의 미분이 곱해지는데, 이것이 다음 소단원의 합성함수 미분이다.
  • 극한 계산의 요령: sin⁡(□)□\dfrac{\sin(\square)}{\square} 꼴을 만들도록 분자·분모를 맞춘다. sin⁡5x2x\dfrac{\sin 5x}{2x} 라면 sin⁡5x5x×52\dfrac{\sin 5x}{5x} \times \dfrac{5}{2} 로 고쳐 52\dfrac{5}{2} 를 얻는다.

완료로 두면 미적분Ⅱ 목차에 표시됩니다.