개요
미분할 수 있는 함수 목록에 삼각함수 를 더할 차례다. 출발점은 극한 하나다.
lim x → 0 sin x x = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 x → 0 lim x sin x = 1 이 식이 뜻하는 바는 간단하다. 각이 아주 작을 때 sin x \sin x sin x x x x 는 것이다. 단위원에서 아주 짧은 호의 길이와 그 호에 대응하는 세로 길이가 거의 구분되지 않는 상황을 떠올리면 된다.
여기서 반드시 챙길 조건이 있다. 이 극한은 각을 라디안 으로 잴 때만 1 1 1 π 180 \frac{\pi}{180} 180 π
핵심 사실
정의 삼각함수의 덧셈정리 : 각을 더하거나 빼면 두 각의 sin 과 cos 이 서로 섞여 나온다.
sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β , cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta,\qquad
\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β , cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
단위원에서 각이 α \alpha α β \beta β cos ( α − β ) \cos(\alpha - \beta) cos ( α − β ) β = α \beta = \alpha β = α 덧셈정리 편에서 한 단계씩 볼 수 있다.
정의 2배각 공식 : 덧셈정리에 β = α \beta = \alpha β = α
sin 2 α = 2 sin α cos α , cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 , tan 2 α = 2 tan α 1 − tan 2 α \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad
\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1,\qquad
\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} sin 2 α = 2 sin α cos α , cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 , tan 2 α = 1 − tan 2 α 2 tan α
cos 2 α \cos 2\alpha cos 2 α sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 sin \sin sin 1 − 2 sin 2 α 1 - 2\sin^2\alpha 1 − 2 sin 2 α cos \cos cos 2 cos 2 α − 1 2\cos^2\alpha - 1 2 cos 2 α − 1 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} cos 2 α = 2 1 + c o s 2 α 삼각함수의 부정적분 에서 제곱을 1차식으로 낮추는 데 그대로 쓰인다.
덧셈정리가 도함수를 세우는 문 이다. ( sin x ) ′ (\sin x)' ( sin x ) ′ sin ( x + h ) − sin x \sin(x+h) - \sin x sin ( x + h ) − sin x
정의 기본 극한 : 각이 라디안일 때
lim x → 0 sin x x = 1 , lim x → 0 tan x x = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,\qquad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 x → 0 lim x sin x = 1 , x → 0 lim x tan x = 1
삼각함수의 도함수 : 미분하면 사인과 코사인이 서로 옮겨 가고, 코사인 쪽에만 음의 부호가 붙는다.
( sin x ) ′ = cos x , ( cos x ) ′ = − sin x , ( tan x ) ′ = sec 2 x = 1 cos 2 x (\sin x)' = \cos x,\qquad (\cos x)' = -\sin x,\qquad (\tan x)' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} ( sin x ) ′ = cos x , ( cos x ) ′ = − sin x , ( tan x ) ′ = sec 2 x = cos 2 x 1 ( sin x ) ′ = cos x (\sin x)' = \cos x ( sin x ) ′ = cos x 1 1 1 x = π 2 x = \frac{\pi}{2} x = 2 π 0 0 0 x = π x = \pi x = π − 1 -1 − 1
x = 0, 기울기 1 (sin x / x 의 극한) x = π/2, 기울기 0 x = π, 기울기 −1 포물선 y = x² 와 비교
접선 · 기울기가 f′(a) 평균값 정리 · 할선과 나란한 접선 도함수의 정의 · h 를 줄인다 역함수 · 기울기의 곱이 1
−2π −π π 2π 1.00 1 f(x) = sin x f′(x) = cos x
접점 (0.00, 0.00) · 기울기 f′(0.00) = 1.00
a 0.00 · f(a) 0.00 · 기울기 1.00
접점의 x = a
자취 지우기
f(x) = sin x 위의 점 x = 0.00 에서 접선의 기울기는 1.00 입니다. 접점을 좌우로 끌면 기울기 자취가 쌓입니다.
네 번 미분하면 제자리 로 돌아온다. sin x → cos x → − sin x → − cos x → sin x \sin x \to \cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x sin x → cos x → − sin x → − cos x → sin x 1 − cos x x 2 → 1 2 \dfrac{1-\cos x}{x^2} \to \dfrac{1}{2} x 2 1 − cos x → 2 1 1 + cos x 1+\cos x 1 + cos x sin 2 x \sin^2 x sin 2 x 각의 배수는 계수로 나온다. ( sin 3 x ) ′ = 3 cos 3 x (\sin 3x)' = 3\cos 3x ( sin 3 x ) ′ = 3 cos 3 x 합성함수 미분 이다.극한 계산의 요령 : sin ( □ ) □ \dfrac{\sin(\square)}{\square} □ sin ( □ ) sin 5 x 2 x \dfrac{\sin 5x}{2x} 2 x sin 5 x sin 5 x 5 x × 5 2 \dfrac{\sin 5x}{5x} \times \dfrac{5}{2} 5 x sin 5 x × 2 5 5 2 \dfrac{5}{2} 2 5
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