미적분
삼각함수의 도함수
사인을 미분하면 코사인이 되고, 코사인을 미분하면 사인에 음수 부호가 붙는다. 네 번 미분하면 제자리로 돌아오는 고리다. 탄젠트는 이 둘을 몫의 미분법으로 엮으면 따라 나오므로 따로 외울 것이 없다. 결과가 이렇게 깔끔한 것은 각을 라디안으로 쟀기 때문이고, 도 단위로 두면 앞에 π/180 이 끼어든다. 호도법을 배운 이유가 여기서 드러난다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 덧셈정리와 sin h / h 의 극한으로 사인의 도함수를 유도한다
- 네 함수가 도는 고리로 사인과 코사인의 도함수를 바로 쓴다
- 몫의 미분법으로 탄젠트와 코탄젠트의 도함수를 끌어낸다
- 라디안이 아니면 이 공식들이 성립하지 않는 이유를 설명한다
한 단계씩 유도해 보기
도함수의 정의에 사인을 넣는다.
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외울까, 되살릴까
외우는 편이 싸다
덧셈정리와 sin h / h 의 극한까지 거슬러야 해서 문제를 푸는 중에 되살릴 값이 아니다. 대신 네 함수가 도는 고리 하나면 된다.
sin → cos → −sin → −cos → sin 으로 도는 고리를 그린다. 미분은 이 방향으로 한 칸, 적분은 반대로 한 칸이다. 부호가 헷갈리면 x = 0 근처를 본다. sin x 는 0 에서 가파르게 오르므로 도함수가 1 이어야 하는데 cos 0 이 1 이라 맞고, cos x 는 0 에서 평평하므로 도함수가 0 이어야 하는데 −sin 0 이 0 이라 맞는다. 탄젠트와 코탄젠트는 외우지 말고 sin ÷ cos 과 cos ÷ sin 에 몫의 미분법을 쓴다. 각각 1/cos²x 와 −1/sin²x 가 나오는데, co 가 붙은 쪽에 음수 부호가 붙는다는 규칙이 코사인과 같다.