삼각함수의 부정적분 공식 · 유도와 예제

미분 공식을 거꾸로 돌리면 그대로 나오는데, 음의 부호가 붙는 자리가 미분 때와 반대로 옮겨 간다. 미분에서 코사인 쪽에 붙던 마이너스가 적분에서는 사인 쪽에 붙는다. 이 한 칸의 이동이 실수의 대부분을 만든다.

이 공식, 이렇게 학습하세요

미분 공식의 양변에 −1 을 곱해 사인의 원시함수를 찾는다
코사인이 사인을 민 것이라는 사실로 둘째 식을 얻는다
정적분으로 넓이를 구해 부호가 맞는지 검산한다

한 단계씩 유도해 보기

위 칸의 칠한 넓이와 아래 칸의 높이 차가 같은 수다. 0 에서 π 까지 사인 아래 넓이가 2 이고, −cos 가 −1 에서 1 로 올라간 것도 2 다. 사인의 원시함수가 −cos 인 까닭이 이 그림이고, 미분과 반대쪽에 마이너스가 붙는 것도 여기서 읽힌다.

(cos x)^{'} = - sin x

미분 공식에서 출발한다. 코사인을 미분하면 음의 부호가 따라 나온다.

1 / 2 단계· 💎 3단계 더

외울까, 되살릴까

외우지 않아도 된다

미분 공식에 −1 을 곱해 보면 마이너스가 어디로 가는지 그 자리에서 보인다.

코사인을 미분하면 마이너스 사인이다. 양변에 −1 을 곱하면 −cos 를 미분한 것이 사인이 되므로 사인의 적분이 −cos 다. 코사인의 적분은 코사인이 사인을 반 직각만큼 민 것이라는 사실로 같은 식에서 나온다. 헷갈리면 답을 미분해서 원래 식으로 돌아오는지 확인한다.

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아래끝 a = 0 위끝 b = 3 쪼갠 수 n = 12

직사각형 12개의 합 S₁₂ = 1.962 n 을 늘려 보세요. 막대가 곡선에 붙으면서 합이 아래 값으로 다가갑니다

∫_a^b (sin x) dx = [−cos x]_a^b = 0.99 − −1 = 1.99

차이 = 0.028 왼쪽 끝값으로 세운 막대라 늘 조금 모자라거나 넘친다. 다만 n 을 두 배로 하면 차이도 절반이 되고, n 을 한없이 키우면 0 으로 간다. 정적분은 그 극한값이다

n 12 · 합 1.962 · 정적분 1.99 · 차 0.028

y = sin x 을 0 부터 3 까지 12 개의 직사각형으로 쪼갰습니다. 직사각형의 합은 1.962 이고 정적분의 값은 1.99 입니다.

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이어서 학습하기

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