삼각비의 정의
직각삼각형에서 한 예각의 크기만 정해지면 세 변의 비가 따라 정해진다. 삼각형을 크게 그리든 작게 그리든 비가 같기 때문이다. 그 정해진 비에 sin, cos, tan 이라는 이름을 붙인 것이 삼각비다. 특수각의 값도, 삼각형의 넓이도, 사인법칙도 모두 이 정의 위에 선다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 기준각을 정하고 대변 · 밑변 · 빗변을 가린다
- 세 변의 길이에서 sin, cos, tan 의 값을 구한다
- 같은 각의 직각삼각형이 모두 닮음이라 비가 하나로 정해지는 까닭을 말한다
한 단계씩 유도해 보기
각 C 가 직각인 직각삼각형에서 각 A 를 기준각으로 잡는다. 각 A 가 같고 직각이 하나씩 있는 두 직각삼각형은 두 각이 같아 닮음이다. 그래서 삼각형을 크게 늘리거나 줄여도 대응하는 세 변의 비는 그대로다.
1 / 3 단계
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
직각삼각형 한 장을 그려 대변 · 밑변 · 빗변을 표시하면 세 비가 그림에서 읽힌다. 외울 표가 아니다.
직각삼각형을 그리고 기준각에 표를 한다. 분모는 셋 중 둘이 빗변이다. 사인은 기준각과 떨어져 마주 보는 변을 빗변으로 나누고, 코사인은 기준각에 붙은 변을 빗변으로 나누고, 탄젠트만 빗변을 쓰지 않는다. 세 값이 맞는지는 3 : 4 : 5 삼각형으로 검산한다.
이런 실수를 조심하세요
- 대변과 밑변을 기준각과 무관하게 고정하는 경우. 기준각을 B 로 바꾸면 대변과 밑변이 자리를 맞바꾼다
- 빗변이 아닌 변을 사인 · 코사인의 분모에 두는 경우. 빗변이 가장 긴 변이므로 두 값은 언제나 1 보다 작다
- 삼각비를 길이로 생각하는 경우. 두 길이를 나눈 비라 단위가 없고, 삼각형을 두 배로 키워도 값이 변하지 않는다
예제
문제. 각 C 가 직각이고 세 변이 a = 3, b = 4, c = 5 인 직각삼각형에서 sin A, cos A, tan A 를 구하시오.
답. sin A = 3/5, cos A = 4/5, tan A = 3/4
각 A 의 대변이 a = 3, 밑변이 b = 4, 빗변이 c = 5 다. 정의에 넣으면 sin A = 3/5, cos A = 4/5, tan A = 3/4 다. 검산: (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1 이고, 3/5 를 4/5 로 나누면 3/4 로 탄젠트와 같다.