삼각비

개요

중2 피타고라스 정리에서 우리는 직각삼각형 세 변의 관계를 $c^2 = a^2 + b^2$ 로 다뤘다. 세 변의 길이가 서로 얽혀 있다는 사실을 알게 된 셈이다. 이번엔 한 걸음 더 나아가, 그 세 변의 비율에 이름을 붙여 본다. 직각삼각형은 한 각의 크기만 정해지면 세 변의 비율이 항상 같게 유지된다. 그래서 각 하나만 알아도 변의 길이 사이의 관계를 알 수 있는데, 이 비율에 붙인 이름이 바로 삼각비다.

핵심 사실

• 탄젠트는 따로 외울 필요가 적다: 사인과 코사인을 알면 탄젠트는 그 비로 바로 나온다.

$$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

$\dfrac{\text{대변}}{\text{빗변}} \div \dfrac{\text{밑변}}{\text{빗변}}$ 을 계산하면 빗변이 약분되어 $\dfrac{\text{대변}}{\text{밑변}}$ 이 남기 때문이다. 그래서 탄젠트를 따로 외울 부담이 준다.

• 특수각의 삼각비: $30°$, $45°$, $60°$ 세 각의 삼각비 값은 시험과 계산에 자주 쓰이므로, 아래 비교표로 정리해 두고 익혀 둔다.

비교표

각 $\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$30°$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

시험 포인트

• 대변·밑변은 기준각의 위치에 따라 달라진다. 같은 직각삼각형이라도 어느 각을 $\theta$ 로 삼느냐에 따라 대변과 밑변이 서로 바뀌므로, 삼각비를 구하기 전에 기준각부터 확인해야 한다.
• $30°$ 와 $60°$ 는 사인·코사인 값이 서로 자리를 바꾼 관계(여각 관계)다. $\sin 30° = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$, $\cos 30° = \sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 로, 한쪽을 알면 다른 쪽도 바로 안다.
• $\tan 45° = 1$ 은 대변과 밑변의 길이가 같은($45°$ 인 직각이등변삼각형) 데서 온다. 특수각 중 값이 가장 단순하니 기준점으로 삼아 두면 좋다.