선분 AB 를 m : n 으로 나누는 점의 자리를 벡터로 적는 식이다. 분자에서 m 과 n 이 뒤바뀌어 붙는 것이 이 식의 전부이자 함정인데, 그 까닭은 유도 한 줄이면 드러난다. A 에서 출발해 AB 방향으로 전체의 m/(m+n) 만큼 가면 그 자리다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
내분점의 위치벡터를 두 위치벡터의 가중평균으로 적는다
분자에서 m 과 n 이 맞바뀌어 붙는 이유를 설명한다
중점과 무게중심을 이 식의 특별한 경우로 읽는다
한 단계씩 유도해 보기
P 는 A 에서 AB 방향으로 전체의 2/3 만큼 간 자리다. 선분을 세 등분하면 A 쪽이 2 칸, B 쪽이 1 칸이다. B 에 가까울수록 m 이 크고 그 m 이 b 에 붙는다. 그래서 분자에서 계수가 맞바뀐 것처럼 보인다.
OP=a+AP
O 에서 A 로 간 다음 A 에서 P 로 간다. 벡터의 덧셈 그대로다.
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외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
A 에서 AB 방향으로 전체의 m/(m+n) 만큼 간다는 한 줄을 통분하면 나온다.
계수가 맞바뀌는 것만 조심하면 된다. 헷갈릴 때는 극단을 넣어 본다. m = 0 이면 P 는 A 자리여야 하는데, 식에 넣으면 분자가 n·a 이고 분모가 n 이라 정확히 a 가 나온다. 반대로 n = 0 이면 b 가 나온다. 이 확인이 두 계수의 자리를 정해 준다. 중점은 m = n 인 경우라 (a + b)/2 이고, 삼각형의 무게중심은 세 위치벡터의 평균 (a + b + c)/3 이다. 외분점은 n 을 −n 으로 바꾸면 그대로 따라온다.