이 페이지 목차 8개
  1. 개요
  2. 핵심 사실
  3. 비교표
  4. 시험 포인트
  5. 예제
  6. 확인 문제
  7. 이어서 보기
  8. 완료
02 / 7

벡터의 연산

크기와 방향을 함께 지닌 벡터의 덧셈·실수배를 익히고, 위치벡터로 점을 다룬다.

가르칠 때 짚을 것 교사용
시험에 나오는 것
덧셈·실수배 계산은 짧다. 배점은 ** 의 방향과 내분점 공식에서 계수의 자리다. 부호나 자리 하나가 어긋나면 이후 계산이 전부 반대로 간다. 끝점에서 시작점을 뺀다는 한 문장**을 못 박고 시작한다.
여기서 무너집니다
를 로 쓴다. 이름의 순서를 그대로 뺄셈 순서로 옮긴 것이다. 원점에서 그려 확인시킨다. 끝에서 끝으로 가는 화살표를 그리면, 더해서 가 되어야 하니 빼는 쪽이 라는 것이 그림에서 닫힌다.
확인 질문

를 , 로 나타내면 무엇입니까? 왜 그 순서입니까?

와 " 에 더해서 가 되어야 해서"가 나오면 통과. 순서를 뒤집으면 성분과 내적에서 부호가 전부 반대로 간다.

개요

“3km 갔다”와 “북쪽으로 3km 갔다”는 다르다. 앞은 크기만 있고, 뒤는 방향까지 있다. 크기만 있는 양을 스칼라, 크기와 방향을 함께 지닌 양을 벡터라 한다. 힘·속도·이동은 모두 벡터다.

벡터는 화살표로 나타내며, 길이가 크기, 화살표 방향이 방향이다. 여기서 중요한 약속이 하나 있다: 시작점이 어디든 길이와 방향이 같으면 같은 벡터로 본다. 그래서 벡터를 자유롭게 평행이동해 이어 붙일 수 있고, 이것이 벡터 계산을 간단하게 만든다.

이 소단원에서는 벡터를 더하고 실수배하는 법, 그리고 기준점을 정해 점을 벡터로 나타내는 위치벡터를 다룬다. 다음 소단원의 성분과 내적은 모두 이 위에서 계산된다.

핵심 사실

정의

벡터의 표기: 시작점 A\mathrm{A}, 끝점 B\mathrm{B} 인 벡터를 AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} 로 쓰고, 그 크기를 ∣AB→∣|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| 로 쓴다. 크기가 00 인 벡터는 영벡터 0⃗\vec{0} 이며 방향을 생각하지 않는다.

  • 같은 벡터: 크기와 방향이 같으면 위치가 달라도 같은 벡터다. 반대벡터 −a⃗-\vec{a} 는 크기가 같고 방향이 반대인 벡터다.
  • 덧셈: 삼각형법: AB→+BC→=AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}} 처럼 앞 벡터의 끝에 뒤 벡터의 시작을 붙인다. 평행사변형법으로 보면 두 벡터를 두 변으로 하는 평행사변형의 대각선이 합이다.
  • 뺄셈은 반대벡터를 더하는 것이다.
a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗),AB→=OB→−OA→\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}),\qquad \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}
  • 실수배: ka⃗k\vec{a} 는 크기가 ∣k∣∣a⃗∣|k||\vec{a}| 이고, k>0k > 0 이면 방향이 같고 k<0k < 0 이면 반대다.
  • 평행 조건: 두 벡터가 평행하다는 것은 한쪽이 다른 쪽의 실수배라는 뜻이다.
a⃗∥b⃗  ⟺  b⃗=ka⃗  (k≠0)\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{b} = k\vec{a}\ \ (k \ne 0)
  • 위치벡터: 기준점 O\mathrm{O} 를 정하면 점 P\mathrm{P} 를 OP→\overrightarrow{\mathrm{OP}} 로 나타낼 수 있다. 이때 두 점 A,B\mathrm{A}, \mathrm{B} 의 위치벡터를 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} 라 하면 AB→=b⃗−a⃗\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b} - \vec{a} 다.
  • 내분점의 위치벡터: 선분 AB\mathrm{AB} 를 m:nm : n 으로 내분하는 점 P\mathrm{P} 는
OP→=na⃗+mb⃗m+n\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}
  • 중점은 m=nm = n 인 경우이므로 a⃗+b⃗2\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2} 이고, 삼각형의 무게중심은 a⃗+b⃗+c⃗3\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} 다.
  • 한 직선 위에 있을 조건: 세 점 A,B,C\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} 가 한 직선 위에 있으려면 AC→=k AB→\overrightarrow{\mathrm{AC}} = k\,\overrightarrow{\mathrm{AB}} 인 실수 kk 가 있어야 한다.

벡터는 그림으로 이해하는 것이 가장 빠릅니다. 아래에서 화살표 두 개의 끝을 끌어 보세요(방향키로도 움직입니다). 합 에서는 평행사변형의 대각선이 곧 a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b} 라는 것이, 차 에서는 a⃗−b⃗\vec{a}-\vec{b} 가 b⃗\vec{b} 의 끝에서 a⃗\vec{a} 의 끝으로 가는 화살표와 같다는 것이 (시험 포인트의 AB→=b⃗−a⃗\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b}-\vec{a} 가 바로 이 그림입니다) 보입니다. 실수배 에서 kk 를 음수로 넘기면 화살표가 뒤집히고, 두 벡터가 한 직선에 놓이면 위젯이 평행이라고 알려 줍니다.

a + bab

a 는 3, 1 이고 b 는 1, 3 입니다. 합은 4, 4 이고 크기는 5.66 입니다. a 와 b 의 크기의 합 6.32 보다 크지 않습니다.

완료로 두면 기하 목차에 표시됩니다.