고1 문자와식
삼차방정식 근과 계수의 관계
이차방정식에서 근의 합과 곱을 계수로 읽던 일을 삼차로 넓힌다. 만드는 방법이 똑같다. 근이 셋이면 인수도 셋이고, 그것을 전개해 계수를 견주면 관계식이 세 줄 나온다. 이차에서 두 줄이던 것이 삼차에서 세 줄이 되는 규칙까지 함께 보인다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 세 근의 합, 두 개씩 곱한 것의 합, 세 근의 곱을 계수로 바로 쓴다
- 부호가 한 칸씩 번갈아 붙는 규칙을 인수분해에서 설명한다
- 근을 구하지 않고 답이 나오는 문제를 알아본다
한 단계씩 유도해 보기
세 근이 α, β, γ 이면 삼차식은 이렇게 인수분해된다. 이차에서 인수가 둘이던 자리에 셋이 온 것뿐이다.
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외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
a(x−α)(x−β)(x−γ) 를 전개해 계수를 견주면 나온다. 이차에서 하던 일과 같다.
몇 개씩 뽑는지로 기억한다. 하나씩 뽑아 더하면 −b/a, 두 개씩 뽑아 곱해 더하면 c/a, 셋을 다 곱하면 −d/a 다. 부호는 뽑은 개수가 홀수일 때만 음수다. 이차에서 합이 −b/a, 곱이 c/a 였던 것과 같은 규칙이다. 검산은 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 으로 한다. 근이 1, 2, 3 이므로 합 6 은 −(−6)/1, 두 개씩의 곱의 합 11 은 11/1, 세 근의 곱 6 은 −(−6)/1 과 맞아떨어진다.