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근과 계수의 관계

이차방정식을 풀지 않고도 두 근의 합은 −b/a, 곱은 c/a 로 바로 읽는다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

합·곱을 그대로 묻는 문항은 배점이 낮다. **

α^{2} + β^{2}

\frac{1}{α} + \frac{1}{β}

처럼 변형해 쓰는 문항**과

a \neq = 1

인 경우가 점수를 가른다.

여기서 무너집니다

a \neq = 1

일 때

a

로 나누는 것을 빠뜨린다. 교과서 예제가 대부분

a = 1

이라 "합은

- b

, 곱은

c

"로 굳어 버리기 때문이다. **첫 예제부터

a \neq = 1

인 식으로 시작하면** 이 오개념이 아예 생기지 않는다:

2 x^{2} - 4 x + 1 = 0

을 첫 예로 잡는다.

확인 질문

$2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 의 두 근의 곱은 얼마입니까?

$\frac{1}{2}$ 면 통과. $1$ 이라고 하면 $a$ 로 나누는 단계가 통째로 빠진 것이니, 변형 공식으로 넘어가기 전에 잡는다.

개요

Unit 4에서 우리는 이차방정식의 근을 구하는 법을 익혔다. 인수분해로 두 일차식을 찾거나, 여의치 않으면 근의 공식에 계수를 대입했다. 그런데 문제가 늘 “근을 구하라”고만 묻는 것은 아니다. 때로는 두 근의 합이나 곱, 혹은 $\alpha^2 + \beta^2$ 같은 값만 필요할 때가 있다. 이럴 때 방정식을 풀지 않고도 두 근의 정보를 계수에서 바로 읽어 내는 지름길이 있다. 바로 근과 계수의 관계다.

핵심 사실

$ax^2 + bx + c = 0$ 의 두 근이 $\alpha, \beta$ 이면 다음이 성립한다.

\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \dfrac{c}{a}

유도 아이디어: $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ 로 놓고 우변을 전개해 양변의 계수를 비교하면 위 관계식이 나온다. 아래 스테퍼로 한 단계씩 따라가 보자.
활용 변형: 두 근을 직접 구하지 않고도 $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ 처럼 합과 곱만으로 여러 값을 계산할 수 있다.
거꾸로 세우기: 두 수 $\alpha, \beta$ 를 근으로 하는 이차방정식은 $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ 이다. 합과 곱을 알면 방정식을 되만들 수 있다.

$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ 에서 출발해 우변을 전개하고 계수를 맞춰 보면, 왜 합에 마이너스가 붙는지가 자연스럽게 드러납니다. 아래에서 한 단계씩 확인해 보세요.

a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)

두 근이 α, β이면 이차식은 이렇게 인수분해된다.

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완료로 두면 고1 공통수학 목차에 표시됩니다.