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타원의 방정식

타원은 "두 초점까지의 거리의 합이 일정한 점의 모임"이다. 정의는 이 한 문장이 전부이고, 표준형은 그 문장을 좌표로 옮겨 근호를 없앤 결과일 뿐이다. 압정 두 개에 실을 걸고 연필로 팽팽하게 당겨 그리면 나오는 곡선이 정확히 이것이며, 행성의 궤도가 이 모양이다.

이 공식, 이렇게 학습하세요

  • 정의(거리의 합이 일정)에서 표준형을 유도한다
  • 표준형에서 초점의 좌표와 긴 지름을 읽는다
  • a² = b² + c² 와 쌍곡선의 c² = a² + b² 를 구분해 쓴다

한 단계씩 유도해 보기

F1P + F2P = 2a 로 늘 일정 b a F1 F2 P
두 초점까지의 거리를 더하면 P 가 어디에 있든 2a 다. 표준형은 이 문장을 좌표로 옮긴 것이다.

정의를 그대로 좌표로 옮긴 식이다. 두 초점 (−c, 0) 과 (c, 0) 까지의 거리를 더한 것이 늘 2a 라는 뜻이며, 여기서부터는 근호를 없애는 계산만 남는다.

1 / 6 단계

👤 이 공식을 만든 사람, 아폴로니오스 이야기 → 👤 이 공식을 만든 사람, 히파티아 이야기 → 👤 이 공식을 만든 사람, 요하네스 케플러 이야기 →

외울까, 되살릴까

외우는 편이 싸다

근호를 두 번 제곱하는 유도라 되살리기 비싸다. a² = b² + c² 관계를 함께 외운다.

a² = b² + c² 를 식과 함께 외운다. 긴 반지름이 가장 크고 초점까지의 거리 c 가 그 안에 들어간다. 헷갈리면 c = 0 을 넣어 본다. 두 초점이 겹쳐 원이 되고 a = b 가 된다. 어느 축이 긴지는 x = 0 과 y = 0 을 차례로 넣어 확인한다. 분모가 큰 쪽이 긴 축이다.

🧠 공식 전체를 외울 것과 되살릴 것으로 가른 표 →

이런 실수를 조심하세요

예제

문제. 타원 x²/25 + y²/9 = 1 의 두 초점의 좌표와, 이 타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합을 구하시오.

답. 초점 (±4, 0), 거리의 합 10

a² = 25, b² = 9 이므로 c² = 25 − 9 = 16, c = 4. a = 5 이므로 거리의 합은 2a = 10 이다.

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