자연·몸 수2
뜨거운 커피는 결국 몇 도가 될까 · 함수의 극한
90°C 커피는 아무리 기다려도 방 온도 22°C 아래로 내려가지 않는다
- 63°C 10분 뒤 커피 온도
- 25°C 1시간 뒤
- lim = 22 끝없이 기다리면 다가가는 온도
갓 내린 90°C 커피를 22°C인 방에 두었다. 커피는 처음에 빨리 식다가 점점 천천히 식는다. 커피와 방의 온도 차이가 1분마다 5%씩 줄어든다고 어림하면, t분 뒤 커피의 온도는 T(t) = 22 + 68 × 0.95ᵗ이다. 68은 처음의 온도 차이다.
극한은 도착하는 곳이 아니라 다가가는 곳이다.
10분 뒤에는 약 63°C, 20분 뒤에는 약 46°C, 30분 뒤에는 약 37°C, 1시간 뒤에는 약 25°C다. 처음 10분에 27도가 내려가지만, 30분부터 60분까지 30분 동안은 12도만 내려간다. 온도 차이가 작아질수록 식는 빠르기도 느려지기 때문이다.
시간이 끝없이 흐르면 커피는 몇 도가 될까. t가 한없이 커지면 0.95ᵗ는 0에 한없이 가까워진다. 그래서 T(t)는 22에 한없이 가까워지고, 이를 lim(t→∞) T(t) = 22로 쓴다. 극한값 22는 커피가 실제로 어느 순간 도달하는 온도가 아니라, 다가가는 목표다. 식으로는 어느 시각에도 T(t) > 22다.
현실에서는 커피 온도가 방 온도와 거의 같아지면 온도계로 차이를 읽을 수 없게 되고, 우리는 「다 식었다」고 말한다. 극한은 이 「거의 같아진다」를 정확한 말로 바꾼 것이다. 함숫값을 구할 수 없는 곳에서도, 그 근처의 값들이 어디로 모이는지는 말할 수 있다.