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극한의 뜻

어떤 값에 한없이 가까워질 때 무엇에 다가가는지를 묻는 것이 극한이며, 미분의 첫걸음이다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

극한값을 구하는 계산 자체는 인수분해와 약분이라 금방 붙는다. 배점은 **

\frac{0}{0}

꼴 앞에서 무엇을 하는가와 좌·우극한이 갈리는 함수에 있다. 대입 연습을 줄이고 분모가

0

으로 가는지 먼저 보는 절차**를 첫 수순으로 못 박는다.

여기서 무너집니다

x = a

에서 정의되지 않으면 극한도 없다고 여긴다. 함숫값과 극한을 같은 것으로 보기 때문이다. 구멍 뚫린 그래프를 그려 보여 준다. 그 점만 비어 있어도 양쪽에서 다가가는 높이는 분명하다. 극한은 그 점의 값이 아니라 가는 길을 묻는다는 한 문장이 서면 다음 소단원이 편해진다.

확인 질문

$f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ 은 $x = 1$ 에서 정의됩니까? $x \to 1$ 일 때 극한은 있습니까?

"정의되지 않지만 극한은 $2$ "가 나오면 통과. 극한도 없다고 하면 함숫값과 극한을 섞은 것이니, 연속의 정의로 넘어가기 전에 여기서 멈춘다.

개요

unit6 에서 우리는 수열 $a_1, a_2, a_3, \dots$ 을 다뤘다. 항이 규칙에 따라 하나씩 이어지는 그 나열이다. 이번엔 한 걸음 더 나아가, 그 수열이 $n$ 이 한없이 커질 때 어떤 값에 다가가는지를 묻는다. 다가가는 목표가 있는가, 있다면 무엇인가, 이 물음이 미적분 전체의 출발점인 극한이다.

핵심 사실

정의

수열의 극한: $n$ 이 한없이 커질 때 $a_n$ 이 어떤 일정한 값 $L$ 에 한없이 가까워지면, 이를 다음과 같이 쓴다.

\lim_{n \to \infty} a_n = L

함수의 극한: $x$ 가 $a$ 에 한없이 가까워질 때 $f(x)$ 가 $L$ 에 한없이 가까워지면, 다음과 같이 쓴다.

\lim_{x \to a} f(x) = L

여기서 중요한 것은 $x = a$ 에서의 값이 아니라, $x$ 가 $a$ 에 다가가는 과정에서 $f(x)$ 가 어디로 향하는가이다.

극한의 계산 법칙: 극한이 존재할 때, 극한은 합·차·곱·몫으로 나누어 계산할 수 있다.

\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g, \qquad \lim (fg) = \lim f \cdot \lim g, \qquad \lim \dfrac{f}{g} = \dfrac{\lim f}{\lim g} \ \ (\lim g \neq 0)

다항함수의 극한: 다항함수는 대개 그 점의 값을 그대로 대입하면 극한값이 나온다. 예를 들어 다음과 같다.

\lim_{x \to 2} (x^2 + 1) = 5

$\dfrac{0}{0}$ 꼴의 처리: 대입했더니 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이 되는 경우는 먼저 인수분해나 약분으로 식을 정리한 뒤 대입한다.

\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4

비교표

구분	수열의 극한	함수의 극한
변하는 대상	자연수 $n$	실수 $x$
다가가는 목표	$n$ 이 한없이 커짐 ( $n \to \infty$ )	$x$ 가 $a$ 에 다가감 ( $x \to a$ )
표기	$\lim_{n \to \infty} a_n = L$	$\lim_{x \to a} f(x) = L$

시험 포인트

극한은 ” $x=a$ 에서의 함숫값”이 아니라 “다가가는 값”이다. $x=a$ 에서 함수가 정의되지 않아도 극한은 존재할 수 있다.
$\dfrac{0}{0}$ 꼴을 만나면 절대 그대로 극한이 $0$ 이라 답하지 말고, 먼저 인수분해·약분으로 식을 정리한 뒤 대입한다.
분수의 극한은 분모의 극한이 $0$ 이 아닌지 먼저 확인한다. 분모가 $0$ 으로 가는데 분자가 $0$ 이 아니라면 몫의 법칙을 그대로 쓸 수 없다.

예제로 익히기 따라 풀기

기초 예제 1

$lim_{n \to \infty} \frac{4 n - 1}{2 n + 3}$ 의 값을 구해 보자.

먼저 스스로 풀어 보세요. 막히면 한 단계씩 열어 확인합니다.

0 / 3 단계

시험 예제 2

$lim_{x \to 1} (\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} + 3 x)$ 의 값을 구해 보자.

먼저 스스로 풀어 보세요. 막히면 한 단계씩 열어 확인합니다.

0 / 4 단계

스스로 확인하기 점검

기초 1 / 5

$lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ 의 값은?

기초 2 / 5

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 1}{n}$ 의 값은?

시험 3 / 5

$x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 2 x - 3}$ 의 값은?

시험 4 / 5

$lim_{n \to \infty} \frac{n ^{2} + 3 n}{2 n ^{2} - 1}$ 의 값은?

도전 5 / 5

$lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} + a x - 6}{x - 2}$ 의 값이 존재하도록 하는 상수 $a$ 의 값은?

완료로 두면 미적분Ⅰ 미적분 입문 목차에 표시됩니다.