해바라기 씨앗의 나선은 왜 34와 55일까 · 수열의 극한

해바라기 씨앗을 보면 가운데서 바깥으로 도는 나선이 두 방향으로 겹쳐 있다. 나선의 개수를 세어 보면 한쪽이 34개, 다른 쪽이 55개인 경우가 많다. 둘 다 피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …의 항이다. 앞의 두 항을 더해 다음 항을 만드는 수열이다.

수열은 끝없이 이어져도, 이웃한 항의 비는 한 점으로 모일 수 있다.

이웃한 두 항의 비를 차례로 구해 보자. 8 ÷ 5 = 1.6, 13 ÷ 8 = 1.625, 21 ÷ 13 ≈ 1.6154, 34 ÷ 21 ≈ 1.6190, 55 ÷ 34 ≈ 1.6176, 89 ÷ 55 ≈ 1.6182. 값이 커졌다 작아졌다 하면서 점점 한 값에 다가간다. 이 비의 수열이 수렴하는 극한값은 (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.6180, 황금비다.

극한값은 이렇게 구한다. 비가 어떤 값 r로 수렴한다고 하면, aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ의 양변을 aₙ₊₁로 나눈 식에서 n이 커질 때 r = 1 + 1/r이 된다. 정리하면 r² − r − 1 = 0이고, 양수인 근이 (1 + √5) ÷ 2다. 수열이 끝없이 이어져도 그 비는 한 점으로 모인다.

식물이 씨앗을 놓을 때 한 바퀴의 약 0.382배(황금비와 관련된 각, 약 137.5°)씩 돌려 놓으면 씨앗들이 겹치지 않고 가장 촘촘히 채워진다는 설명이 있다. 그렇게 놓인 씨앗은 피보나치 수만큼의 나선으로 보인다. 모든 해바라기가 정확히 34와 55인 것은 아니지만, 이웃한 피보나치 수가 유난히 자주 나온다.

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