이 페이지 목차 8개
  1. 개요
  2. 핵심 사실
  3. 비교표
  4. 시험 포인트
  5. 예제
  6. 확인 문제
  7. 이어서 보기
  8. 완료
01 / 8

수열의 극한

항이 한없이 나아갈 때 수열이 어디로 다가가는지 판정하고, ∞/∞ 꼴을 정리해 극한값을 구한다.

가르칠 때 짚을 것 교사용
시험에 나오는 것
유리식의 극한은 차수만 보면 끝나 배점이 작다. 갈리는 곳은 ** 꼴을 다루는 자리다. 유리화나 통분으로 정체를 밝히지 못하면 손도 못 댄다. 차수 비교는 짧게 익히고 부정형의 종류마다 정해진 변형 수단**을 표로 정리해 준다.
여기서 무너집니다
를 수처럼 다뤄 이라 쓴다. 기호를 값으로 읽기 때문이다. 두 반례를 나란히 보여 준다. 은 무한대로 가고 은 로 간다. 같은 인데 답이 다르다는 것을 보면, 정체를 밝히기 전에는 아무 값도 쓸 수 없다는 것이 남는다.
확인 질문

는 입니까? 왜 그렇게 답했습니까?

"정해지지 않는다"와 반례가 함께 나오면 통과. 이라 답하면 급수와 미분의 정의에서 같은 방식으로 무너지므로 여기서 멈춘다.

개요

12, 13, 14, …\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{4},\ \dots 은 아무리 가도 00 이 되지는 않지만 00 에 한없이 가까워진다. 이렇게 끝없이 이어지는 수열이 어디로 다가가는가를 묻는 것이 극한이다.

미적분Ⅰ에서 배운 함수의 극한이 ”xx 가 어떤 값에 다가갈 때”를 물었다면, 여기서는 항 번호 nn 이 한없이 커질 때를 묻는다. 다가가는 값이 있으면 수렴, 없으면 발산이다.

계산에서 가장 자주 만나는 것은 ∞∞\dfrac{\infty}{\infty} 꼴이다. 분자도 분모도 끝없이 커지므로 그대로는 답을 알 수 없다. 이때는 가장 크게 자라는 항으로 나누어 정체를 드러내는 것이 정석이다. 이 소단원의 계산은 대부분 그 한 가지 요령으로 정리된다.

핵심 사실

정의

수렴과 발산: n→∞n \to \infty 일 때 ana_n 이 일정한 값 α\alpha 에 한없이 가까워지면 lim⁡n→∞an=α\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \alpha 로 쓰고 수렴한다고 한다. 그런 값이 없으면 발산이며, 양의 무한대·음의 무한대·진동으로 나뉜다.

  • 기본 극한: lim⁡n→∞1n=0\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 이고, lim⁡n→∞1nk=0 (k>0)\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^k} = 0\ (k > 0) 이다. 이 둘이 모든 계산의 출발점이다.

  • 극한의 성질: 두 수열이 모두 수렴할 때만 합·차·곱·몫의 극한을 따로 계산해 합칠 수 있다.

lim⁡(an±bn)=α±β,lim⁡(anbn)=αβ,lim⁡anbn=αβ (β≠0)\lim (a_n \pm b_n) = \alpha \pm \beta,\qquad \lim (a_n b_n) = \alpha\beta,\qquad \lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta}\ (\beta \ne 0)
  • ∞∞\dfrac{\infty}{\infty} 꼴은 분모의 최고차항으로 나눈다. 유리식이면 분자·분모의 차수를 비교하는 것으로 답이 정해진다.
lim⁡n→∞3n2+n2n2−5=lim⁡n→∞3+1n2−5n2=32\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n}{2n^2 - 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{2 - \frac{5}{n^2}} = \frac{3}{2}
  • 차수 비교: (분자 차수) < (분모 차수)면 극한은 00, 차수가 같으면 최고차항 계수의 비, 분자 차수가 크면 발산한다.
  • ∞−∞\infty - \infty 꼴은 유리화한다. n2+n−n\sqrt{n^2+n} - n 처럼 근호가 있으면 켤레를 곱해 분수 꼴로 바꾼 뒤 위 방법을 쓴다.
  • 등비수열 rnr^n 의 극한은 공비의 크기로 갈린다.
lim⁡n→∞rn={0(−1<r<1)1(r=1)발산(r≤−1 또는 r>1)\lim_{n \to \infty} r^n = \begin{cases} 0 & (-1 < r < 1) \\ 1 & (r = 1) \\ \text{발산} & (r \le -1 \ \text{또는}\ r > 1) \end{cases}
  • 샌드위치 정리: an≤bn≤cna_n \le b_n \le c_n 이고 ana_n 과 cnc_n 이 같은 값 α\alpha 로 수렴하면 bnb_n 도 α\alpha 로 수렴한다. 직접 계산이 어려운 수열을 양쪽에서 조여 잡을 때 쓴다.

공비를 밀어 보면 수렴과 발산의 갈림이 한눈에 보인다. ∣r∣<1|r| < 1 이면 항이 점점 00 으로 눌리고, ∣r∣>1|r| > 1 이면 걷잡을 수 없이 커진다. 경계인 r=1r = 1 과 r=−1r = -1 에서 무슨 일이 벌어지는지도 직접 확인해 보자.

4.48-0.480114

4,2,1,0.500,0.250,0.125,0.063,0.031, …

항이 매번 0.500 배가 되어 점들이 곡선을 그린다. 일정한 비로 커지거나 줄어드는 것이 곧 등비수열이다.

비교표

꼴방법예
∞∞\dfrac{\infty}{\infty} (유리식)분모의 최고차항으로 나눈다3n2+n2n2−5→32\dfrac{3n^2+n}{2n^2-5} \to \dfrac{3}{2}
∞−∞\infty - \infty (근호)켤레를 곱해 유리화n2+n−n→12\sqrt{n^2+n}-n \to \dfrac{1}{2}
rnr^n공비의 크기로 판정(12)n→0\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0
조이는 꼴샌드위치 정리sin⁡nn→0\dfrac{\sin n}{n} \to 0

시험 포인트

  • 극한의 성질은 각각 수렴할 때만 쓸 수 있다. 발산하는 두 수열의 차가 수렴하는 경우도 있으므로 따로 떼어 계산하면 틀린다.
  • 차수만 비교하면 되는 문제가 많다. 유리식이면 최고차항만 보고 00·계수비·발산 중 하나로 바로 답할 수 있다.
  • rnr^n 에서 r=−1r = -1 을 조심한다. (−1)n(-1)^n 은 11 과 −1-1 을 오가며 진동하므로 수렴하지 않는다. ∣r∣<1|r| < 1 인지 확인하는 습관을 들인다.
  • 근호가 보이면 유리화를 먼저 떠올린다. ∞−∞\infty - \infty 를 그대로 두고 대소를 짐작하면 안 된다.
흔한 실수

∞\infty 는 수가 아니다. ∞∞=1\dfrac{\infty}{\infty} = 1, ∞−∞=0\infty - \infty = 0 이라고 쓰면 안 된다. 이런 꼴은 답이 정해지지 않아 부정형이라 부르며, 반드시 식을 변형해 정체를 밝혀야 한다.

예제로 익히기 따라 풀기

기초 예제 1

의 값을 구해 보자.

먼저 스스로 풀어 보세요. 막히면 한 단계씩 열어 확인합니다.

0 / 3 단계
시험 예제 2

의 값을 구해 보자.

먼저 스스로 풀어 보세요. 막히면 한 단계씩 열어 확인합니다.

0 / 4 단계

스스로 확인하기 점검

기초 1 / 5

의 값은?

기초 2 / 5

의 값은?

시험 3 / 5

의 값은?

시험 4 / 5

수열 이 수렴하도록 하는 정수 의 개수는?

도전 5 / 5

일 때, 상수 의 값은?

완료로 두면 미적분Ⅱ 목차에 표시됩니다.