0.5% 뽑기를 200번 하면 나올까
0.5%를 200번 뽑고도 빈손일 확률이 36.7%
- 36.7% 200번 모두 실패할 확률
- 63.3% 하나라도 얻을 확률
- 86.5% 400번을 뽑아도
게임에서 캐릭터 하나가 0.5% 확률로 나온다고 한다. 0.5%는 1/200이니 200번 뽑으면 한 번은 나오겠다고 계산한다. 실제로는 200번을 다 뽑고도 빈손일 확률이 36.7%다. 세 사람 중 한 사람은 아무것도 못 얻는다.
기댓값은 보장이 아니다. 평균 200번이라는 말 안에는 600번을 뽑고도 빈손인 사람이 함께 들어 있다.
계산은 뒤집어 하는 게 쉽다. 한 번 실패할 확률은 0.995. 뽑기는 서로 독립이므로 200번 내내 실패할 확률은 0.995를 200번 곱한 0.995^200 ≈ 0.367이다. 따라서 하나라도 얻을 확률은 1 − 0.367 = 0.633, 63.3%다. 100번이면 1 − 0.995^100 ≈ 39.4%, 400번을 뽑아도 86.5%로 100%에는 결코 닿지 않는다. 곱해서 줄어드는 값이라 0이 되지 않기 때문이다.
"200번이면 한 번"이라는 계산이 완전히 틀린 것은 아니다. 처음 성공까지 걸리는 횟수의 평균이 정확히 1/0.005 = 200번이다. 다만 평균이 200번이라는 말은 100번에 나오는 사람과 600번에도 못 나오는 사람이 섞여 그 중간이 200이라는 뜻이지, 200번째에 보장된다는 뜻이 아니다. 실제로 게임 회사들이 일정 횟수를 넘기면 반드시 지급하는 천장 제도를 두는 이유가 여기 있다. 확률만 두면 운이 아주 나쁜 사람이 반드시 생긴다.
하나 더. 190번을 실패했으니 이제 나올 차례라는 느낌은 근거가 없다. 독립시행에서 201번째 뽑기의 확률은 앞에서 몇 번 실패했든 그대로 0.5%다. 뽑기 기계는 당신이 얼마를 썼는지 기억하지 않는다. 이것을 도박사의 오류라 부르며, 여기서 잃는 돈이 확률을 오해해서 치르는 가장 흔한 값이다.