로또 1등과 같은 반 생일 · 큰 수를 세는 감각
로또 1등은 814만분의 1, 30명 중 생일이 겹칠 확률은 70.6%
- 8,145,060 로또 1등 경우의 수
- 70.6% 30명 중 생일이 같은 둘이 있을 확률
- 435쌍 30명에서 만들어지는 짝
로또는 1부터 45까지 45개 숫자 중 6개를 고른다. 순서는 상관없으니 조합이고, 경우의 수는 45C6 = (45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40) ÷ 720 = 8,145,060가지다. 1등 확률이 814만분의 1이라는 말은 이 숫자에서 나온다.
확률이 작다는 말만으로는 부족하다. 그 작은 확률에 기회가 몇 번 곱해지는지를 함께 세어야 한다.
814만이 얼마나 큰지 감이 잘 오지 않는다. 매주 다섯 줄을 사는 사람을 생각해 보자. 한 주에 5가지를 확인하니 모든 조합을 훑는 데 8,145,060 ÷ 5 = 1,629,012주, 약 31,000년이 걸린다. 삼국시대부터 지금까지 매주 사 왔어도 아직 20분의 1도 못 지났다. 로또 판매점 앞의 "1등 배출" 현수막이 자주 보이는 이유는 확률이 높아서가 아니라, 매주 수천만 줄이 팔리기 때문이다.
반대로 훨씬 작아 보이는데 실제로는 큰 확률도 있다. 한 반 30명 중 생일이 같은 두 사람이 있을 확률은 얼마일까. 365일이나 되니 드물 것 같지만 70.6%다. 23명만 모여도 50%를 넘긴다. 계산은 여집합으로 한다. 모두 다를 확률은 (365 ÷ 365) × (364 ÷ 365) × … × (336 ÷ 365)이고, 1에서 이것을 빼면 된다.
직관이 틀리는 까닭은 우리가 "나와 생일이 같은 사람"을 찾기 때문이다. 문제가 묻는 것은 아무 두 사람이다. 30명에서 만들 수 있는 짝은 30C2 = 435쌍, 435번의 기회가 있는 셈이다. 하나하나의 확률이 작아도 시도 횟수가 곱해지면 결과는 커진다. 로또는 시도가 확률에 비해 터무니없이 적은 쪽이고, 생일 문제는 시도가 생각보다 훨씬 많은 쪽이다. 확률을 볼 때 분모만 보지 말고 "몇 번의 기회가 있는가"를 함께 세라는 것이 두 문제가 같이 주는 교훈이다.