이 페이지 목차 8개
  1. 개요
  2. 핵심 사실
  3. 비교표
  4. 시험 포인트
  5. 예제
  6. 확인 문제
  7. 이어서 보기
  8. 완료
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순열과 조합

순서를 따지면 순열, 따지지 않으면 조합임을 알고, 두 기호의 뜻과 계산법을 가르고 익힌다.

가르칠 때 짚을 것 교사용
시험에 나오는 것
과 의 계산은 기계적이다. 배점은 순서를 따지는지 판단하는 한 줄에 걸려 있다. 이 판단이 틀리면 계산이 아무리 정확해도 답이 배 어긋난다. 계산 연습을 줄이고 문장에서 순서 유무를 가려내는 훈련에 시간을 몰아 준다.
여기서 무너집니다
"반장·부반장 뽑기"와 "대표 명 뽑기"를 같은 것으로 본다. 작은 수로 직접 나열시킨다. 명에서 둘을 뽑아 보면 순열은 가지, 조합은 가지가 손으로 나온다. 나열해 본 아이는 다시 섞지 않는다.
확인 질문

명 중 반장과 부반장을 뽑는 경우와 대표 명을 뽑는 경우는 각각 몇 가지입니까? 왜 다릅니까?

과 , 그리고 "반장·부반장은 누가 어느 자리인지까지 따진다"가 나오면 통과. 두 값을 같다고 하면 이후 확률 문항이 통째로 어긋난다.

개요

앞 소단원의 곱의 법칙을 계속 쓰다 보면 5×4×35 \times 4 \times 3 같은 계산이 반복해서 나온다. 이렇게 여럿 중에서 몇 개를 뽑아 늘어놓는 셈에 이름과 기호를 붙인 것이 순열이고, 늘어놓지 않고 뽑기만 하는 셈이 조합이다.

둘을 가르는 기준은 딱 하나, 순서를 따지는가이다. 반장과 부반장을 뽑는 것은 누가 반장인지가 중요하므로 순열이고, 대표 두 명을 뽑는 것은 순서가 없으므로 조합이다. 조합은 순열에서 “같은 것을 순서만 바꿔 여러 번 센” 만큼을 나눠 준 것이라, 두 기호는 남남이 아니라 한 뿌리다.

핵심 사실

  • 순열 nPr_n\mathrm{P}_r: 서로 다른 nn 개에서 rr 개를 뽑아 순서 있게 나열하는 경우의 수다.
nPr=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)=n!(n−r)!_n\mathrm{P}_r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}
  • 곱해지는 수는 nn 부터 시작해 rr 개다. 5P3=5×4×3=60_5\mathrm{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60.
  • 계승 n!=n(n−1)⋯2⋅1n! = n(n-1)\cdots 2 \cdot 1 이고, 약속으로 0!=10! = 1 이다. nPn=n!_n\mathrm{P}_n = n! 은 nn 개를 모두 한 줄로 세우는 경우의 수다.
  • 조합 nCr_n\mathrm{C}_r: 서로 다른 nn 개에서 rr 개를 순서 없이 뽑는 경우의 수다. 뽑은 rr 개를 늘어놓는 방법이 r!r! 가지이므로 순열을 r!r! 로 나눈다.
nCr=nPrr!=n!r! (n−r)!_n\mathrm{C}_r = \frac{_n\mathrm{P}_r}{r!} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}
  • 5C3=606=10_5\mathrm{C}_3 = \dfrac{60}{6} = 10 이다. 순열 6060 가지 중 같은 세 사람을 순서만 바꾼 66 가지를 하나로 묶은 셈이다.

”r!r! 로 나눈다”는 말이 손에 잡히지 않는다면 아래에서 가지를 세어 보세요. 층마다 한 번 쓴 것이 빠지므로 가지가 하나씩 줄어듭니다. 이것이 nPr_n\mathrm{P}_r 에서 곱하는 수가 rr 개인 이유입니다. 그리고 오른쪽 끝의 이름을 하나 누르면 순서만 다른 같은 뽑기가 함께 켜집니다. 4P3=24_4\mathrm{P}_3 = 24 가지가 66 개씩 묶여 4C3=4_4\mathrm{C}_3 = 4 가지가 되는 것을 손으로 확인할 수 있습니다.

ABCDCBDDBCBACDCADDACCABDBADDABDABCBACCABABCABDACBACDADBADCBACBADBCABCDBDABDCCABCADCBACBDCDACDBDABDACDBADBCDCADCB

4개에서 3개를 뽑아 나열합니다. 층마다 쓸 수 있는 것이 하나씩 줄어 4 곱하기 3 곱하기 2 은 24개입니다. 순서를 무시하면 6개씩 같은 뽑기이므로 24 나누기 6 은 4가지입니다.

두 기호를 따로 외우면 헷갈립니다. 순열에서 출발해 r!r! 로 나누면 조합이 나온다. 아래에서 그 한 줄이 만들어지는 과정을 단계별로 보세요. 세 번째 단계가 핵심입니다: 조합 하나가 순열 r!r! 개에 대응하므로, 나누는 수가 왜 하필 r!r! 인지가 거기서 드러납니다.

첫 자리에 n 가지, 다음 자리에 n−1 가지… 를 자리 수 r 개만큼 곱한다.

1 / 4 단계
  • 조합의 두 성질: 뽑을 것을 고르는 일과 남길 것을 고르는 일은 같으므로 nCr=nCn−r_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r} 이고, 특정한 하나를 뽑느냐 안 뽑느냐로 갈라 보면 nCr=n−1Cr−1+n−1Cr_n\mathrm{C}_r = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_r 이다.
  • nC0=nCn=1_n\mathrm{C}_0 = {}_n\mathrm{C}_n = 1 이다. 하나도 안 뽑는 방법도, 전부 뽑는 방법도 한 가지다.
  • 뽑아서 나열하는 문제는 조합과 순열을 이어 붙인다. 1010 명에서 33 명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수는 10C3×3!=10P3_{10}\mathrm{C}_3 \times 3! = {}_{10}\mathrm{P}_3 이다.
  • 이웃 조건은 묶어서 센다. 이웃해야 하는 것들을 한 덩어리로 보고 배열한 뒤, 덩어리 안에서의 순서를 곱한다.

완료로 두면 고1 공통수학 목차에 표시됩니다.